两线段最小值问题9篇两线段最小值问题 1 线段的最大值与最小值 一、基本依据：1．线段公理——两点之间，线段最短；2．对称的性质—&md下面是小编为大家整理的两线段最小值问题9篇,供大家参考。
篇一：两线段最小值问题
/p>线段的最大值与最小值
一、基本依据：1．线段公理——两点之间，线段最短；2．对称的性质——①关于一条直线对称的两个图形全等；②对称轴是两个对称图形对应点连线的垂直平分线；3．三角形两边之和大于第三边；4．三角形两边之差小于第三边。5、垂直线段最短 二、基本图形 一）、已知两个定点：
1、在一条直线 m 上，求一点 P，使 PA+PB 最小； （1）点 A、B 在直线 m 两侧：
（2）点 A、B 在直线同侧：A、A’ 是关于直线 m 的对 称点。
2、在直线 m、n 上分别找两点 P、Q，使 PA+PQ+QB 最小。
（1）两个点都在直线外侧：
（2）一个点在内侧，一个点在外侧：
P
mAB
mAB
mABP
mABA" n mABQP n mABP"Q" n mABQP n mABB"
2
（3）两个点都在内侧：
（4）、台球两次碰壁模型 变式一：已知点 A、B 位于直线 m,n 的内侧，在直线 n、m 分别上求点 D、E 点，使得围成的四边形 ADEB 周长最短.
变式二：已知点 A 位于直线 m,n 的内侧, 在直线 m、n 分别上求点 P、Q 点 PA+PQ+QA 周长最短.
二）、一个动点，一个定点：
（一）动点在直线上运动：点 B 在直线 n 上运动，在直线 m 上找一点 P，使 PA+PB 最小（在图中画出点 P 和点 B）
1、两点在直线两侧：
2、两点在 直线同侧：
QP n mABB"A" n mAB m nAP m nAB m nAP m nAA"BmnABEDmnABA"B"mnAPQmnAA"A"
3
（二）动点在圆上运动 点 B 在⊙O 上运动，在直线 m 上找一点 P，使 PA+PB 最小（在图中画出点 P 和点 B）
1、点与圆在直线两侧：
2、点与圆在直线同侧：
三）、已知 A、B 是两个定点，P、Q 是直线 m 上的两个动点，P 在 Q 的左侧,且 PQ 间长度恒定,在直线 m 上要求 P、Q 两点，使得 PA+PQ+QB 的值最小。(原理用平移知识解) （1）点 A、B 在直线 m 两侧：
过 A 点作 AC∥m,且 AC 长等于 PQ 长，连接 BC,交直线 m 于 Q,Q 向左移动 PQ 长，即为 P 点，此时 P、Q 即为所求的点。
（2）点 A、B 在直线 m 同侧：
mOAP"P mOBAB" mOAP mOABA"mABB"EQ PmABQ PmABQ PmABCQ P
4
四、求两线段差的最大值问题(运用三角形两边之差小于第三边) 1、在一条直线 m 上，求一点 P，使 PA 与 PB 的差最大； （1）点 A、B 在直线 m 同侧：
（2）点 A、B 在直线 m 异侧：
过 B 作关于直线 m 的对称点 B’,连接 AB’交点直线 m 于 P,此时 PB=PB’，PA-PB 最大值为 AB’
练习题：
1、如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是多少？
2、在直角坐标系中，点 A、B 的坐标分别为（－4，－1）和（－2，－5）；点 P 是 y 轴上的一个动点，⑴点 P 在何处时，PA＋PB 的和为最小？并求最小值。⑵点 P 在何处时，∣PA—PB∣最大？并求最大值。
3、在正方形 ABCD 中，AB＝12，点 M 在 BC 上，且 BM＝5，点 P 在对角线 BD 上，求点 P 在何处时，PM＋PC 的和为最小？并求最小值。
mBAmABmABB"P P"mBAP" P
5
4、如图，在锐角三角形 ABC 中 ，AB= 5 2 ，∠BAC=45，BAC 的平分线交 BC 于 D，M、N 分别是 AD 和 AB 上的动点，则 BM+MN 的最小值是多少？
5、抛物线的解析式为22 3 y x x ，交 x 轴与 A 与 B,交 y 轴于 C，⑴在其对称轴上是否存在一点 P，使⊿APC 周长最小，若存在，求其坐标。⑵在其对称轴上是否存在一点 Q，使∣QB—QC∣的值最大，若存在求其坐标。
y C l
x B A 1 x
6
篇二：两线段最小值问题
和的最小值( 教学反思)
本节课是 九年级 的一节 复习的专题课，学生己经系统学习了初中阶段全部的数学内容，对基础知识有了一定的掌握，在此基础上进一步复习专题 --- 线段和的最小值问题。本节内容主要是运用数形结合和转化的数学思想，综合轴对称、线段的性质、勾股定理及一些常见的轴对称图形的性质解决线段和的最小值问题。通过学习，以期使学生掌握解决此类问题的方法，提高学生综合运用数学知识的能力。
1. 本节课的设计始终遵循教学由浅入深, , 层层推进的原则, , 先由学生极容易解决的课本上的修奶站问题入手, ,
然后通过 变式， 训练， 综合利用对称的性质，建立数学模型，从而掌握解决这一类问题的方法, ,最后把两条线段和的最小值转化求三条线段和的最小值, , 层层深入, ,设计合理科学 。
2 2. . 整个教学过程, , 通过观察、分析、对比、转化等方法, , 注重 提高学生分析问题、解决问题的能力，进一步强化分类、归纳、综合的思想，培养学生自主探究的意识和能力。
3 3. . 通过对问题的解决， 使学生 了解专题的复习方法，并通过教师的指导、同学的。
合作，享受学习数学的乐趣，树立学好数学的信心。
4. 不足之处: : 部分学生基础较差, , 不能 找准问题本质，化“折”为“直”，求线段之和最短，综合运用有关知识解决问题。
篇三：两线段最小值问题
5将军饮马问题---- 两线段和最小值 题型专题训练【学习目标】1.利用对称变换、平移变换解决有关最值问题；2.体会“转化”、“数形结合”的数学思想在解决综合题中的作用.【学习重、难点】利用对称变换、平移变换解决有关最值问题.一、问题引入：【 题型一】( ( “将军饮马”问题) )在古希腊有一位聪明过人的学者，名叫海伦．有一天，一位将军向他请教了一个问题：如图 1，从 A 地出发到河边饮马，然后再去 B 地，饮马的地点选在哪，才能使所走的总路程最短？在图 2 中呢？跟踪练习：如图 3，正方形 ABCD 的边长为 8，M 在 DC 上，且 DM=2，N 是 AC 上的一动点，DN+MN 的最小值为
．【 题型二】( ( “过桥问题” —— 北师大版数学教材八年级下册第 90 页第 18 题改编) )如图 4，甲、乙两个单位分别位于一条河流的两旁 A 处与 B 处，现准备合作修建一座桥.桥建在何处才能使由甲到乙的路线最短？（注意：桥必须与河流两旁垂直，桥宽忽略不计）．跟踪练习：如图 5，在平面直角坐标系中，矩形 OACB 的顶点 O 在坐标原点，顶点 A、B 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D 为边 OB 的中点．若 E、F 为边 OA 上的两个动点（E 在 F 左侧），且 EF=2，当四边形 CDEF 的周长最小时，点 E、F 的坐标分别为
、
．二、问题解决：如图 6，已知抛物线的解析式为 y=-x 2 -2x+8，对称轴为 x=-1，点 E(1，5)在抛物线上，抛物线与 x 轴的交点坐标为：A(2，0)；B(-4，0)．*（1）作点 E 关于对称轴的对称点 F，则点 F
(填“在”或“不在”)抛物线上，其坐标为
； **（2）在抛物线的对称轴上找一点 M，使 M E+MC 的和最小，求出点此时 M 的坐标；***（3）在 AB 上存在两个动点 P、Q(点 P 在 Q 的左侧)，且 PQ=2，连接 QC、FP，当四边形 PQCF 周长最小时，求点 P 的坐标；****（4）若点 D 是抛物线上的一个动点，连接 AD、OD，将△AOD 绕OD 折叠，使得点 A 落在 A ’ 处，连接 CA ’ 求 CA ’ 的最大值和最小值.图 6l 1图 4l 2图 2图 1图 3备用图
图 8【拓展学习】1.如图 7，在矩形 ABCD 中，AB=4，AD=6，AE=4，AF=2，在边 BC、CD 上分别存在点 G、H，则四边形 EFGH 周长的最小值是
．2.如图 8，MN 是⊙O 的直径，MN=2，点 A 在⊙O 上，∠AMN=30°，B 为弧 AN 的中点，P 是直径 MN 上一动点，则 PA+PB 的最小值为
．三、课堂小结：
这节课，你有哪些收获？四、课后作业如图 9，抛物线 与 轴相交于点 A，C，与 y 轴相交于点 B，连接 AB，BC，点 A223y x bx c x的坐标为（2，0）， .以线段 BC 为直径作 交 AB 于点 D.过点 B 作直线 ， tan 2 BAO M ⊙ l AC ∥与抛物线和 的另一个交点分别是 E，F. M ⊙（1）求该抛物线的函数表达式；（2）求点 C 的坐标和线段 EF 的长；（3）如图 10，连接 CD 并延长，交直线 l 于点 N.点 P，Q 为射线 上的两个动点（点 P 在点 Q 的 NB右侧，且不与 N 重合）线段 PQ 与 EF 的长度相等，连接 DP，CQ，四边形 CDPQ 的周长是否有最小值？若有，请求出此时点 P 的坐标并直接写出四边形 CDPQ 周长的最小值；若没有，请说明理由.图 10图 9图 7
篇四：两线段最小值问题
饮马问题---- 两线段和最小值 题型专题训练【学习目标】
1.利用对称变换、平移变换解决有关最值问题； 2.体会“转化”、“数形结合”的数学思想在解决综合题中的作用. 【学习重、难点】利用对称变换、平移变换解决有关最值问题. 一、问题引入：
【 题型一】
(“将军饮马”问题) 在古希腊有一位聪明过人的学者，名叫海伦．有一天，一位将军向他请教了一个问题：如图 1，从A 地出发到河边饮马，然后再去 B 地，饮马的地点选在哪，才能使所走的总路程最短？在图 2 中呢？
跟踪练习：
跟踪练习：如图 3，正方形 ABCD 的边长为 8，M 在 DC 上，且 DM=2，N 是 AC 上的一动点，DN+MN 的最小值为
． 【 题型二】第 (“过桥问题”——北师大版数学教材八年级下册第 90 页第 18 题改编) 如图 4，甲、乙两个单位分别位于一条河流的两旁 A 处与 B 处，现准备合作修建一座桥.桥建在何处才能使由甲到乙的路线最短？（注意：桥必须与河流两旁垂直，桥宽忽略不计）．
跟踪练习：
跟踪练习：如图 5，在平面直角坐标系中，矩形 OACB 的顶点 O 在坐标原点， 顶点 A、B 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D 为边 OB 的中点． 若 E、F 为边 OA 上的两个动点（E 在 F 左侧），且 EF=2，当四边形 CDEF 的 周长最小时，点 E、F 的坐标分别为
、
． 二、问题解决：
如图 6，已知抛物线的解析式为 y=-x 2 -2x+8，对称轴 为 x=-1，点 E(1，5)在抛物线上，抛物线与 x 轴的交点坐标为：A(2，0)；B(-4，0)． *（1）作点 E 关于对称轴的对称点 F，则点 F
(填“在”或“不在”)抛物线上，其坐标为
；
**（2）在抛物线的对称轴上找一点 M，使 M E+MC 的和最小，求出点此时 M 的坐标； ***（3）在 AB 上存在两个动点 P、Q(点 P 在 Q 的左侧)，且 PQ=2，连接QC、FP，当四边形 PQCF 周长最小时，求点 P 的坐标； ****（4）若点 D 是抛物线上的一个动点，连接 AD、OD，将△AOD 绕 OD折叠，使得点 A 落在 A’ 处，连接 CA ’ 求 CA ’ 的最大值和最小值.
图 6 l 1图 4 l 2图 2 图 1 图 3 备用图
图 8 【拓展学习】
1.如图 7，在矩形 ABCD 中，AB=4，AD=6，AE=4，AF=2，在边 BC、CD 上分别存在点 G、H，则四边形 EFGH 周长的最小值是
． 2.如图 8，MN 是⊙O 的直径，MN=2，点 A 在⊙O 上， ∠AMN=30°，B 为弧 AN 的中点，P 是直径 MN 上一动点，则 PA+PB 的最小值为
．
三、课堂小结：
这节课，你有哪些收获？
四、课后作业
如图 9，抛物线223y x bx c = − + + 与 x 轴相交于点 A，C，与 y 轴相交于点 B，连接 AB，BC，点 A 的坐标为（2，0）， tan 2 BAO ∠ = .以线段 BC 为直径作 M ⊙ 交 AB 于点 D.过点 B 作直线 l AC ∥ ，与抛物线和 M ⊙ 的另一个交点分别是 E，F. （1）求该抛物线的函数表达式； （2）求点 C 的坐标和线段 EF 的长； （3）如图 10，连接 CD 并延长，交直线 l 于点 N.点 P，Q 为射线 NB 上的两个动点（点 P 在点 Q 的右侧，且不与 N 重合）线段 PQ 与 EF 的长度相等，连接 DP，CQ，四边形 CDPQ 的周长是否有最小值？若有，请求出．．此时点 P 的坐标并直接写出．．．．四边形 CDPQ 周长的最小值；若没有，请说明理由.
图 10 图 9 图 7
篇五：两线段最小值问题
O/G/O将军饮马问题----两线段和最小值专题L/O/G/O1、平移三种变换的本质相同：都是转化为全等，进而有对应边相等、对应角相等。2、旋转 3、轴对称
( ( “将军饮马”问题) )在古希腊有一位聪明过人的学者，名叫海伦。有一天，一位将军向他请教了一个问题：如图1，从A地出发到河边饮马，然后再去B地，饮马的地点选在哪，才能使所走的总路程最短？在图2中呢？图1 图2转化思想两点之间，线段最短。FFA+FB>AB化同侧为异侧——轴对称变换化折线为直线——“两点之间、线段最短”
如图3，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上的一动点，DN+MN的最小值为 ．图3681010[想一想]如果把这道题看成“将军饮马”的问题，你觉得图中哪条线段可以看成河流，哪两个点可以看成A和B呢？
( ( “将军饮马”问题) )在古希腊有一位聪明过人的学者，名叫海伦。有一天，一位将军向他请教了一个问题：如图1，从A地出发到河边饮马，然后再去B地，饮马的地点选在哪，才能使所走的总路程最短？在图2中呢？图1
图4（ “过桥问题” — 北师大版数学教材八年级下册第90 页第18题 题 改编. . ）如图4，甲、乙两个单位分别位于一条河流的两旁A处与B处，现准备合作修建一座桥.桥建在何处才能使由甲到乙的路线最短？ （注意：桥必须与河流两旁垂直，桥宽忽略不计）QP答：桥应建在PQ处才能使由甲到乙的路线最短.平移变换转化思想
如图5，在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点．若E、F为边OA上的两个动点（E在F左侧），且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，点E、F的坐标分别为 、 ．图5D’QE[想一想]这个题跟刚刚的过桥问题有什么联系和区别？如果能把这个题看成是过桥问题的话，请问桥是指哪一段？F（1/3，0）（7/3，0）
如图5，在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点．若E、F为边OA上的两个动点（E在F左侧），且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，点E、F的坐标分别为 、 ．图5D’QE[想一想]这个题跟刚刚的过桥问题有什么联系和区别？如果能把这个题看成是过桥问题的话，请问桥是指哪一段？F（1/3，0）（7/3，0）
图6在(-3，5)如图6，已知抛物线的解析式为y=-x 2 -2x+8，对称轴为x=-1，点E(1，5)在抛物线上，抛物线与x轴的交点坐标为：A(2，0)；B(-4，0)．*（1）作点E关于对称轴的对称点F，则点F (填“在”或“不在”)抛物线上，其坐标为 ；**（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使M E + MC的和最小，求出点此时M的坐标；***（3）在AB上存在两个动点P、Q(点P在Q的左侧)，且PQ=2，连接QC、FP，当四边形PQCF周长最小时，求点P的坐标；****（4）若点D是抛物线上的一个动点，连接AD、OD，将△AOD绕OD折叠，使得点A落在A ’ 处，连接CA ’ 求CA ’ 的最大值和最小值.
如图7，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，AE=4，AF=2，在边BC、CD上分别存在点G、H，则四边形EFGH周长的最小值是 ．图7
如图8，MN是⊙O的直径，MN=2，点A在⊙O上，∠AMN=30°，B为弧AN的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为 ．图8
这节课，你有哪些收获？
1.知识方面：“引圆”法解决最值问题。两点之间线段最短轴对称变换平移变换轴对称变换平移变换化同侧为异侧——轴对称变换化折线为直线——“两点之间、线段最短”
2.数学思想：“转化”思想、“数形结合”思想。
图10图9
2．如图11，在矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=12，将矩形纸片折叠，使点C落在AD边上的点M处，折痕为PE，此时PD=3．（1）求MP的值；（2）在AB边上有一个动点F，且不与点A，B重合．当AF等于多少时，△MEF的周长最小？（3）若点G，Q是AB边上的两个动点，且不与点A，B重合，GQ=2．当四边形MEQG的周长最小时，求最小周长值．（计算结果保留根号）图11
如图，在∠OAB内有一点P，在OA和OB各找一个点M、N，使得△PMN周长最短.
如图，在∠OAB内有一点P，在OA和OB各找一个点M、N，使得△PMN周长最短.理由：对称过后，PM=P1M，PN=P2N。所以PM+PN+MN=P1M+P2N+MN。所以问题就化成了求P1到P2的最短距离，直接相连就可以了。。一般做法：作点P关于OA和OB的对称点P1、P2。连接P1P2。P1P2与OA、OB的交点即为所求点。P1P2即为最短周长。
如图1，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A、B到它的距离之和最短呢？一般做法：作点A（B）关于直线的对称点，连接A’B，A’B与直线交点即为所求点。A’B即为最短距离理由：A’为A的对称点，所以无论P在直线 任何位置都能得到AP=A’P。所以PA+PB=PA’+PB。这样问题就化成了求A’到B的最短距离，直接相连就可以了
图7
篇六：两线段最小值问题
几何中 线段与 与( 差) 的最值问题 一、 两条线段与的最小值。。
基本图形解析:( 对称轴为:动点所在的直线上 ) 一 一) 、已知两个定点: 1、在一条直线 m 上,求一点 P,使 PA+PB 最小; (1)点 A、B 在直线 m 两侧:
点 A、B 在直线同侧: (2)
A、 A’ 就是关于直线m的对称点。
2 、 、 在直线 m、n 上分别找两点 P、Q,使 PA+PQ+QB 最小。
(1)两个点都在直线外侧:
(2)一个点在内侧, 一个点在外侧:
(3) 两 个 点 都在内侧:
(4)、台球 两次碰壁模型 变 式一:已知点 A、B 位于直线 m,n 的内侧,在直线 n、m分别上求 点 D、E 点,使得围成 的 四边 形 ADEB 周长最短、
填空:最
短 周 长 =________________ 变 式二:已知点 A 位于直线 m,n 的内侧, 在 直线 m、n 分别上求点 P、Q 点 PA+PQ+QA 周长最短、
二 二) 、一个动点, 一个定点: (一) 动点在直 线上运动: 点B在 直线 n 上运动,在直线 m 上找一 点 P,使 PA+PB 最小(在图中画出点 P 与点 B) 1、两点在直线两侧:
2、两点 在直线同侧:
( 二 ) 动点在圆上运动 P
mAB
mAB
mAB
mABP
mABA" n mABQP n mABP"Q" n mABQP n mABB"QP n mABB"A" n mAB m nAP m nAB m nAP m nAA"BmnABEDmnABA"B"mnAPQmnAA"A"
点 B 在⊙O 上运动,在直线 m 上找一点 P,使 PA+PB 最小(在图中画出点 P 与点 B) 1、点与圆在直线两侧:
2、点与圆在直线同侧:
三) )、已 知A、B就 是 两个定点,P、Q 就是直线 m 上的两个动点,P 在 Q 的左侧,且 PQ 间长度恒定,在直线 m 上要求 P、Q 两点,使得 PA+PQ+QB 的值最小。(原理用平移知识解) (1)点 A、B 在直线 m 两侧:
过 A 点作 AC∥m,且 AC 长等于PQ 长 , 连接 BC,交直线 m 于 Q,Q向 左 平 移PQ长,即为P点,此时P、Q 即为 所求的点。
(2) 点 A、B 在直线 m 同侧:
练 习题 如图,∠AOB=45°,P 就
1.是 ∠AOB 内 一点,PO=10,Q、R 分别就是 OA 、 OB 上 的 动 点 , 求 △ PQR 周 长 的 最 小 值为
.
2 2 、 如图 1,在锐角三角形 ABC 中,AB=4 ,∠BAC=45°, ∠BAC 的平分线交 BC 于点 D,M,N 分别就是 AD 与 AB 上的动点, 则BM+MN 的最小值为
. 3、如图,在锐角三角形 ABC 中 ,AB= 5 2 ,∠BAC=45,BAC 的平分线交 BC 于 D,M、N 分别就是 AD 与 AB 上的动点,则 BM+MN 的最小值就是多少？
mOAP"P mOBAB" mOAP mOABA"mABB"EQ PmABQ PmABQ PmABCQ PQ
4、如图 4 所示,等边△ABC 的边长为 6,AD 就是 BC 边上的中线,M 就是 AD 上的动点,E 就是 AC边 上 一 点 、 若 AE=2,EM+CM 的 最 小 值为
、 5 5 、如图 3,在直角梯形 ABCD 中,∠ABC＝90°,AD∥BC,AD＝4,AB＝5,BC＝6,点 P 就是 AB 上一个动点,当PC＋PD 的与最小时,PB 的长 为 __________.
6 6 、 如 图 4,等腰梯形 ABCD中 ,AB=AD=CD=1, ∠ABC=60°,P 就是上底,下底中点 EF 直线上的一点,则PA+PB 的最小值为
. 7 7、 、如图 5 菱形 ABCD 中,AB=2,∠BAD=60°,E 就是 AB 的中点,P 就是对角线 AC 上的一个动点,则 PE+PB 的最小值为
.
8、如图, 菱形ABCD的两条对角线分别长6与8,点P就是对角线AC上 的 一 个动点,点M、N分别就是边AB、BC的中点,则PM+PN的最 小 值 就是
9、如图, 圆柱形玻璃杯,高为 12cm,底面周长为 18cm,在杯内离杯底 3cm 的点 C 处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿 4cm 与蜂蜜相对的点 A 处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________cm.
10、 如 图 , 菱 形 ABCD中,AB=2,∠A=120°,点 P,Q,K 分别为 线段 BC,CD,BD 上的任意一点,则PK+QK 的最小值为
11、 如图,正方形ABCD的边长为2,E为AB的中点,P就是AC上一动点.则 PB+PE 的最小值就是
12 、 如图 6 所示,已知正 方形 ABCD 的边长为 8,点 M 在 DC 上,且 DM=2,N 就是 AC上的一个动点,则 DN+MN 的 最 小 值为
. 13、如图,正方形 ABCD 的边长就是 2,∠DAC 的平分线交 DC 于点 E,若点 P、Q 分别就是AD 与 AE 上的动点,则 DQ+PQ 的最小值为
. 14、 、如图 7,在边长为 2cm 的正方形 ABCD 中,点 Q 为 BC 边的中点,点 P 为对角线 AC 上一动点,连接 PB、PQ,则△PBQ 周长的最小值为
cm.(结果不取近似值).
15 、 如 图 ,⊙O 的 半 径 为 2, 点 A 、 B 、 C 在 ⊙O
上,OA⊥OB,∠AOC=60°,P 就是 OB 上一动点,则 PA+PC 的最小值就是
.
16 、如图 8,MN 就是半径为 1 的⊙O 的直径,点 A 在⊙O 上,∠AMN＝30°,B 为 AN 弧的中点,P 就是直径 MN 上一动点,则 PA ＋ PB 的 最小值为(
) (A)2
(B)
(C)1
(D)2 解答题
1 1、 、如图 9,正比例函数 y= x 的图象与反比例函数 y= (k≠0)在第一象限的图象交于 A 点,过 A 点作 x 轴的垂线,垂足为 M,已知三角形 OAM 的面积为 1、 (1)求反比例函数的解析式; (2)如果B为反比例函数在第一象限图象上的点(点B与点A不重合),且B点的横坐标为1,在 x 轴上求一点 P,使 PA+PB 最小、 2、如图,一元二次方程 x2 +2x-3=0 的二根 x1 ,x 2 (x 1 ＜x 2 )就是抛物线 y=ax2 +bx+c 与 x 轴的两个交点 B,C 的横坐标,且此抛物线过点 A(3,6). (1)求此二次函数的解析式; (2)设此抛物线的顶点为 P,对称轴与 AC 相交于点 Q,求点 P与点 Q 的坐标; (3)在 x 轴上有一动点 M,当 MQ+MA 取得最小值时,求 M 点的坐标.
3 3 、如图 10,在平面直角坐标系中,点 A 的坐标为(1, ) ,△AOB 的面积就是 、 、 (1)求点 B 的坐标; (2)求过点 A、O、B 的抛物线的解析式; (3)在(2)中抛物线的对称轴上就是否存在点C,使△AOC 的周长最小？若存在,求出点 C 的 坐标;若不存在,请说明理由;
4.如图,抛物线 y＝ 35 x2 － 185x＋3 与 y 轴的交点为 A,M 为 OA的中点,若有一动点 P,自 M 点处出发,沿直线运动到 x 轴上的某点(设为点 E),再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点(设为点F),最后又沿直线运动到点A,求使点P运动的总路程最短的点 E,点 F 的坐标,并求出这个最短路程的长.
5.如图,已知在平面直角坐标系 xOy 中,直角梯形 OABC 的边 OA 在 y 轴 的 正 半 轴 上,OC 在 x 轴的正半轴上,OA=AB=2,OC=3,过点 B 作 BD⊥BC,交 OA 于点 D.将
∠DBC 绕点 B 按顺时针方向旋转,角的两边分别交 y 轴的正半轴、x 轴的正半轴于点 E 与 F. (1)求经过 A、B、C 三点的抛物线的解析式; (2)当 BE 经过(1)中抛物线的顶点时,求 CF 的长; (3)在抛物线的对称轴上取两点 P、Q(点 Q 在点 P 的上方),且 PQ＝1,要使四边形 BCPQ 的周长最小,求出 P、Q 两点的坐标.
6.如图,已知平面直角坐标系,A,B两点的坐标分别为A(2,－3),B(4,－1)若 C(a,0),D(a+3,0)就是 x 轴上的两个动点,则当 a 为何值时,四边形 ABDC 的周长最短.
7 7 、如图 11,在平面直角坐标系中,矩形 的顶点 O 在坐标原点,顶点 A、B 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上,OA=3,OB=4,D 为边 OB 的中点、
(1)若 E 为边 OA 上的一个动点,当△CDE 的周长最小时,求点 E 的坐标;
(2)若 E、F 为边 OA 上的两个动点,且 EF=2,当四边形 CDEF 的周长最小时,求点 E、F 的坐标、
二 、 求两线段差的最大值问题 (运用三角形两边之差小于第三边) 基本图形解析: 1、在一条直线 m 上,求一点 P,使 PA 与 PB 的差最大; (1)点 A、B 在直线 m 同侧:
解析:延长AB 交直线m 于点 P,根据 三 角 形两 边 之 差小 于 第 三边,P’A—P’B＜AB,而 PA—PB=AB 此时最大,因此点 P 为所求的点。
(2)点 A、B 在直线 m 异侧:
解 析 : 过 BmBAmABmABB"P P"mBAP" P
作关于直线 m 的对称点 B’,连接 AB’交点直线 m 于 P,此时 PB=PB’,PA-PB 最大值为 AB’ 练习题 1、 如图,抛物线 y＝－ 14 x
2 －x＋2的顶点为 A,与 y 轴交于点 B. (1)求点 A、点 B 的坐标; (2)若点 P 就是 x 轴上任意一点,求证:PA－PB≤AB; (3)当 PA－PB 最大时,求点 P 的坐标、 2、 如图,已知直线 y＝21x＋1 与 y 轴交于点 A,与 x 轴交于点 D, 抛物线 y＝21x
2 ＋bx＋c 与直线交于 A、E 两点,与 x 轴交于 B、C 两点,且 B 点坐标为(1,0). (1)求该抛物线的解析式; (3)在抛物线的对称轴上找一点 M,使|AM－MC|的值最大,求出点 M 的坐标.
3、 、在直角坐标系中,点A、B的坐标分别为(－4,－1)与(－2,－5);点P就是y轴上的一个动点,⑴点 P 在何处时,PA＋PB 的与为最小？并求最小值。⑵点 P 在何处时,∣PA—PB∣最大？并求最大值。
4、 如图,直线 y＝－ 3x＋2 与 x 轴交于点 C,与 y 轴交于点 B,点A 为 y 轴正半轴上的一点,⊙A 经过点 B 与点 O,直线 BC 交⊙A 于点 D. (1)求点 D 的坐标; (2)过 O,C,D 三点作抛物线,在抛物线的对称轴上就是否存在一点P,使线段PO与PD之差的值最大？若存在,请求出这个最大值与点 P 的坐标.若不存在,请说明理由.
5、抛物线的解析式为22 3 y x x ,交 x 轴与 A 与 B,交 y 轴于 C, ⑴在其对称轴上就是否存在一点 P,使⊿APC 周长最小,若存在,求其坐标。
⑵在其对称轴上就是否存在一点 Q,使∣QB—QC∣的值最大,若存在求其坐标。
6、已知:如图,把矩形 OCBA 放置于直角坐标系中,OC=3,BC=2,取 AB的中点M,连接MC,把△MBC沿x轴的负方向平移OC的长度后得到△DAO. yx C B A D O E y y C l
x B A 1 x
(1)试直接写出点 D 的坐标; (2)已知点 B 与点 D 在经过原点的抛物线上,点 P 在第一象限内的该抛物线上移动,过点 P 作PQ⊥x 轴于点 Q,连接 OP. ①若以 O、P、Q 为顶点的三角形与△DAO 相似,试求出点 P 的坐标; ②试问在抛物线的对称轴上就是否存在一点 T,使得|TO-TB|的值最大？
7、如图,已知抛物线 C 1 的解析式为 y=-x2 +2x+8,图象与 y 轴交于 D 点,并且顶点 A 在双曲线上. (1)求过顶点 A 的双曲线解析式; (2)若开口向上的抛物线 C 2 与 C 1 的形状、大小完全相同,并且 C 2 的顶点 P 始终在 C1 上,证明:抛物线 C 2 一定经过 A 点; (3)设(2)中的抛物线C 2 的对称轴PF与x轴交于F点,且与双曲线交于 E 点,当 D、O、E、F 四点组成的四边形的面积为 16、5 时,先求出 P 点坐标,并在直线y=x 上求一点 M,使|MD-MP|的值最大.
8、如图,已知抛物线
经过 A(3,0),B(0,4), (1)、求此抛物线解析式 (2)若抛物线与 x 轴的另一交点为 C,求点 C 关于直线 AB的对称点 C’ 的坐标 (3) 若点 D 就是第二象限内点,以 D 为圆心的圆分别与 x轴、y 轴、直线 AB 相切于点 E、F、H,问在抛物线的对称轴上就是否存在一点一点 P,使得|PH－PA|的值最大？若存在,求出该最大值;若不存在,请说明理由。
三、其它非基本图形类线段与差最值问题 1、求线段的最大值与最小值需要将该条线段转化到一个三角形中,在该三角形中,其她两边就是已知的,则所求线段的最大值为其她两线段之与,最小值为其她两线段之差。
2、在转化较难进行时需要借助于三角形的中位线及直角三角形斜边上的中线。
3、线段之与的问题往往就是将各条线段串联起来,再连接首尾端点,根据两点之间线段最A B C O x y
A B C O x y D E F H
短以及点到线的距离垂线段最短的基本依据解决。
1 、如图,在△ABC 中,∠C=90°,AC=4,BC=2,点 A、C 分别在 x 轴、y 轴上,当点 A 在 x 轴上运动时,点 C 随之在 y 轴上运动,在运动过程中,点 B 到原点的最大距离就是(
) A.
2 2 2
B. 5 2
C。
6 2
D. 6 2、已知:在△ABC中,BC= a ,AC=b,以AB为边作等边三角形ABD、 探究下列问题: (1)如图 1,当点 D 与点 C 位于直线 AB 的两侧时,a=b=3,且∠ACB=60°,则 CD=
; (2)如图 2,当点 D 与点 C 位于直线 AB 的同侧时,a=b=6,且∠ACB=90°,则 CD=
; (3)如图 3,当∠ACB 变化,且点 D 与点 C 位于直线 AB 的两侧时,求 CD 的最大值及相应的∠ACB 的度数、
图 1
图 2
图 3 3、在Rt△ABC 中 , ∠ACB=90°,tan∠BAC=12、 点 D 在边 AC 上(不与 A,C 重合),连结 BD,F 为 BD 中点、 (1)若过点 D 作 DE⊥AB 于 E,连结 CF、EF、CE,如图 1. 设 CF kEF ,则 k =
; (2)若将图 1 中的△ADE 绕点 A 旋转,使得 D、E、B 三点共线,点 F 仍为 BD 中点,如图 2所示.求证:BE-DE=2CF; (3)若 BC=6,点 D 在边 AC 的三等分点处,将线段 AD 绕点 A 旋转,点 F 始终为 BD 中点,求线段 CF 长度的最大值.
4、如图,四边形 ABCD 就是正方形,△ABE 就是等边三角形,M 为对角线 BD(不含 B 点)上任意一点,将 BM 绕点 B 逆时针旋转 60°得到 BN,连接 EN、AM、CM、⑴ 求证:△AMB≌△ENB; ⑵ ①当 M 点在何处时,AM＋CM 的值最小; ②当 M 点在何处时,AM＋BM＋CM 的值最小,并说明理由; ⑶ 当 AM＋BM＋CM 的最小值为 1 3 时,求正方形的边长、 5、如图,二次函数 y=-x 2 +bx+c 与 x 轴交于点 B 与点 A(-1,0),与 y 轴交于点 C,与一次函数 y=x+a 交于点 A 与点 D. (1)求出 a、b、c 的值; (2)若 直 线 AD 上 方 的 抛 物 线 存 在 点 E,可 使 得△EAD 面积最大,求点 E 的坐标; (3)点 F 为线段 AD 上的一个动点,点 F 到(2)中的点DCB AA BCDA BCDB CADEFBDEAFC BAC1 图 2 图 备图E A
D B
C N M
E 的距离与到 y 轴的距离之与记为 d,求 d 的最小值及此时点 F 的坐标.
篇七：两线段最小值问题
最值问题 3线段和的最小值 线段和的最小值
点 A、B 在直线异侧 作法 作图 原理
在直线
l 上求一点
P ，使PA+PB 值最小。
连
AB ，与
l 交点即为
P ．
两点之间线段最短．
PA+PB 最 小 值为 AB．
点 A、B 在直线异侧 （“ 将军饮马” ）
作法 作图 原理
在直线
l 上求一点
P ，使PA+PB 值最小．
作
B 关于
l 的对称点
B ＇ 连
A B ＇，与
l 交点即为
P ．
两点之间线段最短．
PA+PB 最 小 值为 A B＇．
平移型将军饮马 作法 作图 原理
在直线
l 上求两点
M 、 N （ M 在左），使
MN
a ，并使AM+MN+NB 的值最小 .
将点
A 向右平移
a 个长度 单位得
A ＇，作
A ＇关于
l 的对称点
A ＇＇，连
A ＇＇ B ，交 直线
l 于点
N ，将
N 点向 左平移 a 个单位得 M． （亦可先对称再平移）
两点之间线段最短．
AM+MN+BN 的最小值为 A＇＇B+MN．
“ 造桥选址” 作法 作图 原理
直线
m ∥
n ，在
m 、
n ，
上 分 别 求 点
M 、 N ， 使
MN ⊥ m ，且
AM+MN+BN 的值最小。
将点
A 向下平移
MN 的长度单位 得
A ＇，连
A ＇B ，交
n 于点
N ，过
N 作
NM ⊥
m 于 M .
两点之间线段最短．
AM+MN+BN 的最 小 值 为 A ＇B+MN．
作法 作图 原理
在直线 l 1
、 l 2 上分别求点M、N，使△PMN 的周长最小．
分别作点
P 关于两直线的 对称点
P ＇和
P ＇，连
P ＇P ＇ ， 与两直线交点即为
M ， N ．
两点之间线段最短．
PM+MN+PN 的最 小 值 为 线 段 P＇P＇＇的长。
作法 作图 原理
在直线 l 1
、 l 2
上分别求点M 、N ，使四边形 PQMN 的周长最小。
分 别 作 点 Q
、P 关于直线 l 1
、 l 2 的对称点 Q＇和 P＇连 Q＇P＇， 与两直线交点即 为 M，N．
两点之间线段最短
四 边 形
PQMN 周长的最小 值为线段
Q ＇ P ＇的长。
作法 作图 原理
A 为 l 1
上一定点，B 为 l 2
上；A 为 l 1
上一定点，B 为 l 2 上一定点，在 l 2
上求点 M在 l 1 上 求 点 N ， 使AM+MN+NB 的值最小．
作点 A 关 于 l 2
的 对 称 点A＇，作点 B 关于 l 1
的对称点 B＇，连 A＇B＇交 l 2 于 M，交 l 1
于 N .
两点之间线段最 短AM+MN+NB 的最小值为线段 A＇B＇的长．
作法 作图 原理
在
l 1
上求点
A ，在
l 2
上求
点
B ，使
PA+AB 值最小．
作点 P 关于 l 1
的对称点 P＇，作 P＇B⊥ l 2 于B，交 l 1
于 A．
点到直线，垂线段最短
PA+AB 的值最小为 P＇B
1. (1)已知，如图△ABC 为等边三角形，高 AH=10cm，P 为 AH 上一动点，D 为 AB的中点，则 PD+PB 的最小值为______cm.
(2)如图，在锐角△ABC 中，AB=4，∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交 BC 于点 D，M、N分别是 AD 和 AB 上的动点，则 BM+MN 的最小值是
．
(3)如图，Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AB=3，AC=6 2 ，点 D，E 分别是边 BC，AC 上的动点，则 DA+DE 的最小值为
．
(4)如图，在矩形 ABCD 中，AB=10，BC=5．若点 M、N 分别是线段 AC，AB 上的两个动点，则 BM+MN 的最小值为
．
（5）如图正方形 ABCD 的边长为 6，E，F 是对角线 BD 上的两个动点，且 EF=2 2 ，连接 CE，CF，则△CEF 周长的最小值为
．
2. 如图，已知抛物线 y＝﹣x 2 +bx+c 与 x 轴交于 A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与 y 轴交于点 C． （1）求该抛物线的解析式； （2）点 M 是抛物线对称轴上的一个动点，当 MA+MC 的值最小时，求点 M 的坐标及最小值．
3. 如图，已知二次函数 y＝﹣ x 2 +2 x+3 的图象与 x 轴交于点 A、点 B，交 y 轴于点 C． （1）求直线 BC 的函数表达式； （2）如图，P 为线段 BC 上一点，过点 P 作 y 轴平行线，交抛物线于点 D，当△ BDC 的面积最大时，在 x 轴上是否存在一点 M，使△ CPM 的周长最小，若存在求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．
4．如图，已知抛物线 y= x 2 ﹣ x﹣3 与 x 轴交于 A 和 B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与y 轴相交于点 C，顶点为 D （1）求出点 A，B，D 的坐标； （2）若线段 OB 在 x 轴上移动，且点 O，B 移动后的对应点为 O′，B′．首尾顺次连接点 O′、B′、D、C 构成四边形 O′′B′DC，请求出四边形 O′B′DC 的周长最小值．
5．抛物线 y=﹣ x 2 ﹣ x+ 与 x 轴交于点 A，B（点 A 在点 B 的左边），与 y 轴交于点 C，点 D 是该抛物线的顶点． （1）如图 1，连接 CD，求线段 CD 的长； （2）如图 2，点 P 是直线 AC 上方抛物线上一点，PF⊥x 轴于点 F，PF 与线段 AC 交于点 E；将线段 OB 沿 x 轴左右平移，线段 OB 的对应线段是 O 1 B 1 ，当 PE+ EC 的值最大时，求四边形 PO 1 B 1 C 周长的最小值，并求出对应的点 O 1 的坐标；
6. 如图，抛物线 y=﹣ x 2 ﹣ x+ 与 x 轴交于 A，B 两点（A 点在 B 点的左侧），与y 轴交于点 C，已知点 D（0，﹣ ）． （1）求直线 AC 的解析式； （2）如图 1，P 为直线 AC 上方抛物线上的一动点，当△ PBD 面积最大时，过 P 作 PQ⊥x轴于点 Q，M 为抛物线对称轴上的一动点，过 M 作 y 轴的垂线，垂足为点 N，连接 PM，NQ，求 PM+MN+NQ 的最小值．
7. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y= x 2 ﹣ x﹣ 与 x 轴交于 A、B 两点（点A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，对称轴与 x 轴交于点 D，点 E（4，n）在抛物线上． （1）求直线 AE 的解析式； （2）点 P 为直线 CE 下方抛物线上的一点，连接 PC，PE．当△ PCE 的面积最大时，连接CD，CB，点K是线段CB的中点，点M是CP上的一点，点N是CD上的一点，求KM+MN+NK的最小值．
8．如图 1，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y=﹣ x 2 ﹣ x+ 交 x 轴于 A，B 两点，交 y 轴于点 C，抛物线上一点 D 的横坐标为﹣5． （1）求直线 BD 的解析式； （2）点 E 是线段 BD 上的动点，过点 E 作 x 轴的垂线交抛物线于点 F，当折线 EF+BE 最大时，在对称轴上找一点 P，在 y 轴上找一点 Q，连接 QE、OP、PQ，求 OP+PQ+QE 的最小值．
9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=﹣ x 2 + x+3 ，分别交 x 轴于 A、B 两点，交 y 轴交于 C 点，顶点为 D． （1）如图 1，连接 AD，R 是抛物线对称轴上的一点，当 AR⊥AD 时，求点 R 的坐标； （2）在（1）的条件下．在直线 AR 上方，对称轴左侧的抛物线上找一点 P，过 P 作 PQ⊥x轴，交直线 AR 于点 Q，点 M 是线段 PQ 的中点，过点 M 作 MN∥AR 交抛物线对称轴于点N，当平行四边形 MNRQ 周长最大时，在抛物线对称轴上找一点 E，y 轴上找一点 F，使得PE+EF+FA 最小，并求此时点 E、F 的坐标．
10. 抛物线 y=﹣ x+3 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，连接 BC．
（1）如图 1，求直线 BC 的表达式；
（2）如图 1，点 P 是抛物线上位于第一象限内的一点，连接 PC，PB，当△ PCB面积最大时，一动点 Q 从点 P 从出发，沿适当路径运动到 y 轴上的某个点 G再沿适当路径运动到 x 轴上的某个点 H 处，最后到达线段 BC 的中点 F 处停止．求当△ PCB 面积最大时，点 P 的坐标及点 Q 在整个运动过程中经过的最短路径的长．
篇八：两线段最小值问题
线段之和最短专题 一、数学模型 1、实际问题：要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水，修在河边什么地方可使所用的水管最短 2、数学问题：
已知：直线 l 和 l 的同侧两点 A、B。
求作：点 C，使 C 在直线 l 上，并且 AC＋CB 最小。
二、构建“对称模型”实现转化
三、练习题
1 题图
2 题图
3 题图 1、如图，点 P 关于 OA、OB 的对称点分别为 C、D，连接 CD，交 OA 于 M，交 OB 于 N，若 CD＝18cm，则△PMN的周长为________。
2、已知，如图 DE 是△ABC 的边 AB 的垂直平分线，D 为垂足，DE 交 BC 于 E，且 AC＝5，BC＝8，则△AEC 的周长为__________。
3、已知，如图，在△ABC 中，AB＜AC，BC 边上的垂直平分线 DE 交 BC 于点 D，交 AC 于点 E， AC＝8，△ABE 的周长为 14，则 AB 的长
。
4、如图，在 ABC △ 中，AB 的垂直平分线交 AC 于 D，若 AC＝5cm，BC＝4cm，则△ BDC 的周长为________． 【正方形专区】5、如图，正方形 ABCD 的边长为 8，M 在 DC 上，且 DM＝2，N 是 AC 上的一动点， DN＋MN 的最小值为_____
4 题图
5 题图
6 题图
6. （2013•钦州）如图，在正方形 ABCD 中，E 是 AB 上一点，BE=2，AE=3BE，P 是 AC 上一动点，则 PB+PE的最小值是 _________ ． 7. （2013•莆田）如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 P 在 DC 边上且 DP=1，点 Q 是 AC 上一动点，则 DQ+PQ的最小值为 _________ ．
7 题
8 题
9 题
10 题 8.（2012•攀枝花）如图，正方形 ABCD 中，AB=4，E 是 BC 的中点，点 P 是对角线 AC 上一动点，则 PE+PB的最小值为 _________ ．
9.如图，正方形 ABCD 的边长为 2，M、N 分别为 AB、AD 的中点，在对角线 BD 上找一点 P，使 MNP △的周长最小，则此时 PM+PN= _________ ．
10.（2010•越秀区二模）如图，正方形 ABCD 的面积为 18， ABE △ 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD内，在对角线 AC 上有一动点 P，则 PD+PE 的最小值为 _________ ． 【菱形矩形梯形专区】
11.（2013•内江）已知菱形 ABCD 的两条对角线分别为 6 和 8，M、N 分别是边 BC、CD 的中点，P 是对角线 BD 上一点，则 PM+PN 的最小值= _________ ．
11 题
12 题
13 题
12.（2008•荆门）如图，菱形 ABCD 的两条对角线分别长 6 和 8，点 P 是对角线 AC 上的一个动点，点 M、N 分别是边 AB、BC 的中点，则 PM+PN 的最小值是 _________ ．
13.（2011•海南）如图，在边长为 6 的菱形 ABCD 中， DAB=60° ∠ ，E 为 AB 的中点，F 是 AC 上的一动点，则 EF+BF 的最小值为 _________ ．
14.（2014•徐州一模）如图，在矩形 ABCD 中，AB=2，AD=4，E 为 CD 边的中点，P 为 BC 边上的任一点，那么，AP+EP 的最小值为 _________ ．
14 题
15.（2011•天水）如图，在梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=6，对角线 AC 平分∠BAD，点 E 在 AB上，且 AE=2（AE＜AD），点 P 是 AC 上的动点，则 PE+PB 的最小值是 _________ ．
【三角形专区】
1.如图，在边长为 1 的等边三角形 ABC 中，点 D 是 AC 的中点，点 P 是 BC 边的中垂线 MN 上任一点，则 PC+PD的最小值为 _________ ．
1 题
2 题
3 题
2,（2010•滨州）如图，等边△ABC 的边长为 6，AD 是 BC 边上的中线，M 是 AD 上的动点，E 是 AC 边上一点，若 AE=2，EM+CM 的最小值为 _________ ．
3.如图，在等腰三角形 ABC 中，∠ABC=120°，点 P 是底边 AC 上一个动点，M，N 分别是 AB，BC 的中点，若 PM+PN 的最小值为 2，则△ABC 的周长是 _________ ．
4.如图，等腰三角形 ABC 底边 BC 的长为 4cm，面积是 12cm2 ，腰 AB 的垂直平分线 EF 交 AC 于点 F，若 D 为BC 边上的中点，M 为线段 EF 上一动点，则△BDM 的周长最短为 _________ cm．
4 题
5 题
6 题
7 题 5.（2009•陕西）如图，在锐角△ABC 中，AB=4 ，∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交 BC 于点 D，M、N 分别是 AD 和 AB 上的动点，则 BM+MN 的最小值是 _________ ．
6.（2006•河南）如图，在△ABC 中，AC=BC=2，∠ACB=90°，D 是 BC 边的中点，E 是 AB 边上一动点，则EC+ED 的最小值是 _________ ．
7.已知：如图 Rt△ABC 中，∠B=90°，AB=BC=8，M 在 BC 上，且 BM=2，N 是 AC 上一动点，则 BN+MN 的最小值为 _________ ． 补充：较难 考点一：几何图形中的最小值问题 例 1.（2013•钦州）如图 1，在正方形 ABCD 中，E 是 AB 上一点，BE=2，AE=3BE，P 是 AC 上一动点，则 PB+PE 的最小值是 _________ ．
图 1
图 2
图 3 例 2.（2009•陕西）如图 2，在锐角 ABC △ 中，AB=4 ， BAC=45° ∠ ， BAC ∠ 的平分线交 BC于点 D，M、N 分别是 AD 和 AB 上的动点，则 BM+MN 的最小值是
．
例 3.如图 3，点 P 是 Rt ABC △ 斜边 AB 上的一点，PE AC ⊥ 于 E，PF⊥BC 于 F，BC=6，AC=8，则线段 EF 长的最小值为
；
例 4.（2013•湖南自主招生）如图，在 Rt ABC △ 中，AB=BC=6，点 E，F 分别在边 AB，BC 上，AE=3，CF=1，P 是斜边 AC 上的一个动点，则 PEF △ 周长的最小值为
.
图 4
图 5 例 5.（2014•开封）如图，在平面直角坐标系中，Rt OAB △ 的顶点 A 的坐标为（9，0），点 C 的坐标为（2，0），tan BOA= ∠33 ，点 P 为斜边 OB 上的一个动点，则 PA+PC 的最小值为（
）
A． 67
B．231
C. 6
D． 19 3
例 6．（2013•武汉模拟）如图 6，等腰 Rt ABC △ 中， ACB=90° ∠ ，AC=BC=4， C ⊙ 的半径为 1，点 P 在斜边 AB 上，PQ 切 O ⊙ 于点 Q，则切线长 PQ 长度的最小值为（
）
图 6
图 7
图 8 例 7.（2012•海门市一模）如图 7，矩形 ABCD 中，AB=4，BC=8，E 为 CD 的中点，点 P、Q 为BC 上两个动点，且 PQ=3，当 CQ= _________ 时，四边形 APQE 的周长最小．
考点二：几何图形中的最大值问题 例 1.已知点 A（1，2）、B（4，-4），P 为 x 轴上一动点． （1）若|PA|+|PB|有最小值时，求点 P 的坐标； （2）若|PB|-|PA|有最大值时，求点 P 的坐标．
例 2.如图 8 所示，已知 A11( ,y )2，B2(2,y ) 为反比例函数1yx 图像上的两点，动点 P (x,0) 在x 正半轴上运动，当线段 AP 与线段 BP 之差达到最大时，点 P 的坐标是
.
例 3.(2014•深圳)如图，在平面直角坐标系中， M ⊙ 过原点 O，与 x 轴交于 A（4，0），与 y 轴交于 B（0，3），点 C 为劣弧 AO 的中点，连接 AC 并延长到 D，使 DC=4CA，连接 BD． （1）求 M ⊙ 的半径； （2）证明：BD 为 M ⊙ 的切线； （3）在直线 MC 上找一点 P，使|DP﹣AP|最大．
1.如图 1，正方形 ABCD 的面积为 18， ABE △ 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在对角线 AC 上有一动点 P，则 PD+PE 的最小值为 _____ ．
图 1
图 2
图 3
图 4 2.（2014•徐州一模）如图 2，在矩形 ABCD 中，AB=2，AD=4，E 为 CD 边的中点，P 为 BC 边上的任一点，那么，AP+EP 的最小值为 _____ ．
3.（2012•萧山区模拟）如图 3，直角三角形 ABC 中， C=90° ∠ ，AC=1，BC=2，P 为斜边 AB 上一动点．PE BC ⊥ ，PF CA ⊥ ，则线段 EF 长的最小值为_______．
4.（2015•武汉）如图 4， AOB=30° ∠ ，点 M、N 分别在边 OA、OB 上，且 OM=1，ON=3，点 P、Q 分别在边 OB、OA 上，则 MP+PQ+QN 的最小值是
.
篇九：两线段最小值问题
题利用“两点之间，线段最短”解决线段最值问题
微专题
利用 “ 两点之间，线段最短 ” 解决线段最值问题 模型一
“ 一线两点 ” 型( ( 一动＋两定) ) 类型一
异侧线段和最小值问题
问题：
两定点A ，B 位于直线l 异侧，在直线l 上找一点P ，使PA ＋PB 值最小． 路 解 题 思 路 根据两点之间线段最短，PA ＋PB 的最小值即为线段AB 的长．连接AB 交直线l 于点P ，点P 即为所求．
微专题
利用“两点之间，线段最短”解决线段最值问题
练 针 对 训 练 第1题图 1. 如图，等边△ △ABC 的边长为4 ，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 边上的动点，E是 是AB 边上一点，且AE ＝2 ，则线段EF ＋CF 的最小值为________ ． 2 32 2
2 4
微专题
利用“两点之间，线段最短”解决线段最值问题
类型二
同侧线段和最小值问题( ( 将军饮马模型) ) 问题：两定点A ，B 位于直线l 同侧，在直线l 上找一点P ，使得PA ＋PB 值最小． 路 解 题 思 路 将两定点同侧转化为异侧问题，同类型一即可解决．作点B 关于l 的对称点B′， ，连接AB′ ，与直线l 的交点即为点P.
微专题
利用“两点之间，线段最短”解决线段最值问题
练 针 对 训 练 2. 如图，在Rt △ABC 中，AC ＝BC ＝4 ，点D ，E 分别是AB ，AC 边的中点，在CD 上找一点P ，使PA ＋PE 的值最小，则这个最小值为________ ． 第2题图 第3题图 3. 如图，在边长为2 的菱形ABCD 中，∠ ∠DAB ＝60° °， ，E 是AB 边上的一点，且AE ＝1 ，点Q 为对角线AC 上的动点，则△ △BEQ 周长的最小值为________ . 2 51＋ 32 2
4 2 1 1
微专题
利用“两点之间，线段最短”解决线段最值问题
类型三
同侧差最大值问题
问题：两定点A ，B 位于直线l 同侧，在直线l 上找一点P ，使得|PA －PB| 的值最大． 路 解 题 思 路 根据三角形任意两边之差小于第三边，|PA －PB|≤AB ，当A ，B ，P 三点共线时，等号成立，即|PA －PB| 的最大值为线段AB 的长．连接AB 并延长，与直线l 的交点即为点P.
微专题
利用“两点之间，线段最短”解决线段最值问题
练 针 对 训 练 4. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3 ，AD ＝4 ，连接AC ，点O 是AC 的中点，M 是AD上一点，且MD ＝1 ，P 是BC 上一动点，则PM －PO 的最大值为________ 第4题图 132/PN
微专题
利用“两点之间，线段最短”解决线段最值问题
类型四
异侧差最大值问题
问题：两定点A ，B 位于直线l 异侧，在直线l 上找一点P ，使得|PA －PB| 的值最大． 路 解 题 思 路 将异侧点转化为同侧，同类型三即可解决．
微专题
利用“两点之间，线段最短”解决线段最值问题
练 针 对 训 练 5. 如图，已知△ △ABC 为等腰直角三角形，AC ＝BC ＝4， ，∠ ∠BCD ＝15° °， ，P 为CD上的动点，则|PA －PB| 的最大值为________ ． 第5题图 4 /A/P
微专题
利用“两点之间，线段最短”解决线段最值问题
模型二
“ 一点两线 ” 型( ( 两动＋一定) ) 问题：点P是 是∠ ∠AOB 的内部一定点，在OA 上找一点M ，在OB 上找一点N ，使得△ △PMN 周长最小． 路 解 题 思 路 要使△ △PMN 周长最小，即PM ＋PN ＋MN 值最小．根据两点之间线段最短，将三条线段转化到同一直线上即可．
微专题
利用“两点之间，线段最短”解决线段最值问题
练 针 对 训 练 6. 如图，∠ ∠AOB ＝30° ° ，点M ，N 分别是射线OA ，OB 上的动点，OP 平分∠ ∠AOB， ，且 且OP ＝6 ，则△ △PMN 的周长最小值为________ ． 第6题图 6 C D 1P2P
微专题
利用“两点之间，线段最短”解决线段最值问题
模型三
“ 两点两线 ” 型( ( 两动＋两定) ) 问题：点P ，Q是 是∠ ∠AOB 的内部两定点，在OA 上找点M ，在OB 上找点N ，使得四边形PQNM 周长最小． 路 解 题 思 路 要使四边形PQNM 周长最小，PQ 为定值，即求得PM ＋MN ＋NQ 的最小值即可，需将线段PM ，MN ，NQ 三条线段尽可能转化在一条直线上，因此想到作点P关 关于 于OA 的对称点，点Q 关于OB 的对称点．
微专题
利用“两点之间，线段最短”解决线段最值问题
练 针 对 训 练 7. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4 ，AD ＝6 ，AE ＝4 ，AF ＝2 ，点G ，H 分别是边BC ，CD 上的动点，则四边形EFGH 周长的最小值为________ ． 第7题图 2 5＋10G H /F/E