生活中的数学论文9篇

生活中的数学论文9篇生活中的数学论文　概　率　论　与　数　理　统　计　在　日　常　经　济　生　活　中　的　应　用　摘要:数学作为一门工具性学科在我们的日常生活以及科学研究中下面是小编为大家整理的生活中的数学论文9篇,供大家参考。

篇一：生活中的数学论文

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　率

　论

　与

　数

　理

　统

　计

　在

　日

　常

　经

　济

　生

　活

　中

　的

　应

　用

　摘要:数学作为一门工具性学科在我们的日常生活以及科学研究中扮演着极其重要的角色。概率论与数理统计作为数学的一个重要组成部分,在生活中的应用也越来越广泛,近些年来,概率论与数理统计知识也越来越多的渗透到经济学,心理学,遗传学等学科中,另外在我们的日常生活之中,赌博,彩票,天气,体育赛事等都跟概率学有着十分密切的关系。本文着眼于概率论与数理统计在我们生活中的应用,通过前半部分对概率论与数理统计的一些基本知识的介绍,包括概率的基本性质,随机变量的数字特征及其分布,贝叶斯公式,中心极限定理等,结合后半部分的事例分析讨论了概率论与数理统计在我们生活中的指导作用,可以说,概率论与数理统计就是如今数学中最活跃,应用最广泛的学科之一。

　关键词:概率论 数理统计 经济生活 随机变量 贝叶斯公式

　Probability Theory and Mathematical Statistics

　 In our daily economic life

　Abstract: As an instrumental discipline, Mathematics plays a very important role in our daily life and scientific research、 Probability theory and mathematical statistics as an important part of mathematics in life has become increasingly widespread in recent years, probability theory and mathematical statistics knowledge is increasingly penetrate into economics, psychology, genetics and other disciplines, in addition to our everyday lives, are related to the probability of gambling, lottery, weather, sports and other school has a very close relationship、 This article focuses on the theory of probability and mathematical statistics application in our lives, through the introduction of the first half of some basic knowledge of probability theory and mathematical statistics, numerical characteristics, including the fundamental nature of probability, random variables and their distributions, Bayesian formula , the central limit theorem, combined with the second half of the cases discussed the theory of probability and mathematical statistics in guiding role in our lives, we can say, probability theory and mathematical statistics is now one of the most active, the most widely used discipline 、 Key words: Probability

　Mathematical Statistics

　Economic Life

　Random Variables

　Bayesian Law

　目录

　摘要 ………………………………………………………………………………I Abstract…………………………………………………………………………II 第一章 基本知识…………………………………………………………………2 1、1 概率的基本性质 ………………………………………………………2 1、2 随机变量的数字特征 …………………………………………………2 1、3 点估计 …………………………………………………………………4 1、4 贝叶斯公式 ……………………………………………………………5 1、5 中心极限定理 …………………………………………………………6 1、6 随机变量及其分布 ……………………………………………………7 第二章 在日常生活中的应用……………………………………………………9 2、1 在中奖问题中的应用………………………………………………… 9 2、2 在经济管理决策中的应用 ……………………………………………9 2、3 在经济损失估计中的应用……………………………………………10 2、4 在求解经济最大利润中的应用………………………………………11 2、5 在保险问题中的应用…………………………………………………11 2、6 在疾病诊断中应用……………………………………………………12 第三章 结束语 …………………………………………………………………13 致谢………………………………………………………………………………14 参考文献…………………………………………………………………………15

　 第一章

　基本知识

　§1 1 、 1 概率的重要性质

　1 1 、1 1 、1 1 定义

　设E就是随机试验,S就是它的样本空间,对于E的每一事件A赋予一个实数,记为P(A),称为事件的概率。

　概率 ) (A P 满足下列条件: (1)非负性:对于每一个事件 A

　1 ) ( 0   A P

　(2)规范性:对于必然事件 S

　1 ) S (  P

　(3)可列可加性:设nA A A , , ,2 1 就是两两互不相容的事件,有 nkknkkA P A P1 1) ( ) (  ( n 可以取  ) 1 1 、1 1 、 2 概率的一些重要性质

　(i)

　0 ) (   P

　 (ii)若nA A A , , ,2 1 就是两两互不相容的事件,则有 nkknkkA P A P1 1) ( ) (  ( n 可以取  ) (iii)设 A,B 就是两个事件若 B A ,则 ) ( ) ( ) ( A P B P A B P    , ) A ( ) B ( P P 

　(iv)对于任意事件 A, 1 ) (  A P

　(v) ) ( 1 ) ( A P A P  

　(逆事件的概率) (vi)对于任意事件 A,B 有 ) ( ) ( ) ( ) ( AB P B P A P B A P    

　§1 1 、 2 随机变量的数字特征

　1 1 、2 2 、 1 数学期望

　设离散型随机变量 X 的分布律为k kp x X P   } { ,k=1,2,…若级数 1 kk k px 绝对收敛,则称级数1 kk k px 的与为随机变量 X 的数学期望,记为 ) (X E ,即ik k px X E ) (

　设连续型随机变量 X 的概率密度为 ) (x f ,若积分  dx x xf ) ( 绝对收敛,则称积分  dx x xf ) ( 的值为随机变量 X 的数学期望,记为 ) (X E ,即  dx x xf X E ) ( ) (

　定理

　 设 Y 就是随机变量 X 的函数 Y= ) (X g (g 就是连续函数) (1)如果 X 就是离散型随机变量,它的分布律为kp X P   } x {k,k=1,2,…若kkkp x g1( ）

　绝对收敛则有

　 ) Y ( E  )) ( ( X g Ekkkp x g1( ）

　(2)如果 X 就是连续型随机变量,它的分概率密度为 ) (x f ,若  dx x f x g ) ( ) ( 绝对收敛则有 ) Y ( E  )) ( ( X g E dx x f x g ) ( ) (

　数学期望的几个重要性质 (1)设 C 就是常数,则有 C C E  ) (;

　(2)设 X 就是随机变量,C 就是常数,则有 ) ( ) ( X CE CX E ;

　(3)设 X,Y 就是两个随机变量,则有 ) ( ) ( ) ( Y E X E Y X E    ; (4)设 X,Y 就是相互独立的随机变量,则有 ) ( ) ( ) ( Y E X E XY E 、

　1 1 、2 2 、 2 方差

　 定义

　 设 X 就是一个随机变量,若   } ) ( {2X E X E  存在,则称   } ) ( {2X E X E  为 X 的方差,记为D(x)即 D(x)=   } ) ( {2X E X E  ,在应用上还引入量 ) (x D ,记为 ) (x  ,称为标准差或均方差。

　2 2 2) ( ) ( )) ( ( ) ( EX X E X E X E X D    

　方差的几个重要性质 (1)设 C 就是常数,则有

　, 0 ) (  C D

　(2)设 X 就是随机变量,C 就是常数,则有 ) ( C ) (2X D CX D  , D(X) ) (  C X D;

　(3)设 X,Y 就是两个随机变量,则有 E(Y))} - E(X))(Y - 2E{(X D(Y) D(X) ) (    Y X D 特别,若 X,Y相互独立,则有 ) ( ) ( ) ( Y D X D Y X D   ;

　(4) 0 ) (  X D 的充要条件就是 X 以概率 1 取常数 E(X) ,即 1 )} ( {   X E X P、

　切比雪夫不等式:设随机变量 X 具有数学期望2) (   X E ,则对于任意正数  ,不等式22} - X P{    成立 §1 1 、 3 点估计

　1 1 、3 3 、 1 矩估计

　用矩法求估计很古老的估计方法,就是建立在独立同分布情形下的大数定律(样本均值趋向总体平均),它由 K 、Pearson 在 20 世纪初提出,其中心思想就就是用样本矩去估计总体矩 。

　总体 X 分布函数的未知参数为1 2( , , , ) ,Tm      如果总体的 k 阶原点矩1 2( ) ( , , , ), 1,2, ,kk mE X k m         存在,我们设总体的 k 阶原点矩与它的样本的 k 阶原点矩相等 11, 1,2, ,nkk iiA X k mn  

　即1 211( , , , ) ( ) , 1,2, ,nk kk m i kiE X X A k mn         从上面式子可得到关于未知量  的解1 2ˆ ˆ (, , , ), 1,2, ,i nX X X i m      

　 ,取1 2ˆ ˆ ˆ ˆ( , , , ) Tm     作为1 2( , , , ) Tm      的估计,就称ˆ 为  的矩估计。

　关键要掌握两个式子(设总体的均值为  ,方差为2 ,1 2, , ,nX X X  就是来自总体 X 的一个样本):可得总体 X 的一阶,二阶原点矩为 12 2 2 22=E(X)= ,( ) ( ) [ ( )] , E X D X E X        而样本的一阶,二阶原点矩为

　 21 21 11 1,n ni ii iA X X A Xn n    

　 由此可得到

　2 2 211,niiX Xn    , 所以 ˆ X   ,其中由于上面无偏性有提到方差并不等于样本方差2S ,而就是2 21ˆnSn ,矩估计为211( )1niiX Xn。

　当矩估计不唯一时,我们可以根据下面的两个基本原则来选择就是否用矩估计:a、涉及到矩的阶数尽量小, 对总体 X 的要求也尽量少; 比较常用到的矩估计的阶数一般就是一、二阶数;b、用的估计最好就是最小充分统计量的函数,因为在各种统计问题中充分性原则都应就是适合的。

　矩估计的两个基本特点就是 1、由于矩估计就是基于经验分布函数,而经验分布函数逼近真实分布函数的前提条件就是样本容量较大,所以理论上,矩估计就是以大样本为应用对象的;2、矩估计没有用到总体分布的任何信息时,本质上就是一种非参数方法,对已知的总体分布,它不一定就是一个好的估计。

　1 1 、3 3 、 2 极大似然估计

　极大似然方法就是统计中最重要、应用最广泛的方法之一。该方法在 1821 年由德国数学家Gauss 提出的,但并没有得到重视,在 1922 年 R、A、Fisher 再次提出,并探讨研究了它的性质。它

　利用总体分布函数的相关信息,克服矩估计的一些不足。

　总体 X 的分布律或概率密度函数为 ( ; ), f x    就是未知参数,其中总体的样本就是1 2, , ,nX X X  ,则

　 1 21( ; ) ( ; , , , ) ( ; )nn iiL x L x x x f x      

　 为  的似然函数。若统计量1 2ˆ ˆ ˆ( ) ( , , , )nX X X X       满足条件 ˆ( ( ); ) sup ( ; ), L X X L x 

　 ˆ ˆ( )( ) ( )( )minY X Y X Y X Y X          

　则称ˆ () X  为  的极大似然估计。

　极大似然法有许多优良的性质:相合性与渐进有效性、渐进正态性等等。可以计算一些比较复杂的点估计。尽管如此,极大似然也有它的局限性,比如说:极大似然法一定要知道总体分布形式,并且一般情况下,似然方程组的求解比较复杂,一般需要在计算机上通过跌代运算方能计算出其近似解,且并不就是通过求导数都获得极大似然估计值的,以及任何统计推断都应该依赖损失函数,但就是极大似然方法没有考虑到损失函数。

　§1 1 、4 4 贝叶斯公式

　设nB B B ... ,2 1就是一系列互不相容的事件,且有

　 niiB1,

　. ... 2 , 1 , 0 ) ( n i B Pi 

　则对任一事件 A,有

　) ( ) () ( ) () (1jnjji iiB A P B PB A P B PA B P ,

　 . ... 2 , 1 n i 

　) (iB P 叫先验概率,也叫边缘概率, ) ( A B Pi叫后验概率( . ... 2 , 1 n i  )。

　§1 1 、 5 中心极限定理

　1 1 、5 5 、1 1 林德伯格定理

　 设 独 立 随 机 变 量  nX X X , , ,2 1满 足 林 德 伯 格 条 件 , 对 于 任 意 的 正 数  , 有   nis xi innn idx x f xS1220 ) ( ) (1lim ＞。

　其中 ) (x f i 就是随机变量iX 的概率密度,则当   n 时,我们有 dt e z Z Pztnn   2221) ( lim 即

　dt e zsXPztnnii in   21221)) (( lim 其中 z 就是任何实数。

　1 1 、5 5 、2 2 棣莫弗- - 拉普拉斯中心极限定理 :

　设在独立试验序列中,事件 A 在各次试验中发生的概率为 ) 1 0 ( ＜ ＜p p ,随机变量nY 表示事件 A 在 n次试验中发生的次数,则有 dt e zp npnp YPztnn  2221) 1 (lim, 其中 z 就是任何实数。

　§1 1 、6 6 随机变量及其分布

　1 1 、6 6 、1 1 随机变量

　设随机试验的样本空间为 X(e) X

　 {e}. S   就是定义在样本空间 S 上的实值单值函数,称X(e) X  为随机变量 1 1 、6 6 、2 2 离散性随机变量及其分布律

　(1) 离散随机变量:有些随机变量,它全部可能取到的值就是有限个或可列无限多个,这种随机变量称为离散型随机变量。

　k k )( p x X P   满足如下两个条件(1) 0k p ,(2) 1 kkP =1 三种重要的离散型随机变量 设离散型随机变量的分布律为) 1 () 1 ( } {K KP P K X P   ,其中K K=0、1,P P为k k=1时的概率(0<p p<1),则称 X X 服从 (0- - 1) 分布 (2)伯努利实验、二项分布

　设实验 E 只有两个可能结果:A 与—A ,则称 E 为伯努利实验、设 1) p 0 p P(A)    （ ,此时p - 1 ) A P( —、将 E 独立重复的进行 n 次,则称这一串重复的独立实验为 n 重伯努利实验。

　 n 2 , 1 , 0 k q pkn) k X (k - n k ， ，   P 满足条件(1) 0k p ,(2) 1 kkP =1 注意到k - n k qpkn就是二项式nq p ）

　（  的展开式中出现kp 的那一项,我们称随机变量 X 服从参数为 n,p 的二项分布。

　(3)泊松分布

　设随机变量 X 所有可能取的值为 0,1,2…,而取各个值的概率...

篇二：生活中的数学论文

建模论文

　题

　目

　生活中的数学建模问题 学

　院

　 专业班级

　 学生姓名

　成

　绩

　 年

　 月

　 日

　 钢铁、 煤炭、 水电等生活物资从若干供应点运送到一些需求点， 怎样安排输送

　 方案使利润最大？ 各种类型的货物装箱， 由于受体积、 重量等的限制， 如何相互搭配装载， 使获利最高？ 若干项任务分给一些候选人来完成， 因为每个人的专长不同， 他们完成任务的效益就不一样， 如何分派使获得的总效益最大？ 本文将通过以下的例子讨论用数学建模解决这些问题的方法。

　：

　获利最多， 0-1 变量

　一． 自来水输送问题

　 某市有甲、 乙、 丙、 丁四个居民区， 自来水由 A， B， C 三个水库供应。

　四个区每天必须得到保证的基本生活用水量分别为 80， 50， 10， 20 千吨， 但由于水源紧张， 三个水库每天 只能分别供应 60， 70， 40 千吨自来水。

　由于地理位置的差别， 自来水公司从各水库向各区送水所需付出的引水管理费用不同（见下表）， 其他管理费用都是 400元每千吨。

　根据公司规定， 各区用户按照统一标准 950 元每千吨收费。

　此外， 四个区都向公司申请了额外用水量， 分别为 10， 20， 30， 50 千吨。

　该公司应如何分配供水量，才能获利更多？

　 引水管理费（元每千吨）

　甲

　乙

　丙

　丁 A

　160

　130

　220

　 170 B

　140

　130

　190

　 150 C

　190

　200

　230

　 ----

　 分配供水两就是安排从三个水库向四个区供水的方案， 目标是获利最多， 而从题目给出的数据看， A， B， C 三个水可的供水量 170 千吨， 不够四个区的基本生活用水量与额外用水量之和 270 千吨， 因而总能全部卖出并获利， 于是自来水公司每天的总收入是950*（60+70+40）

　=161500 元， 与送水方案无关。

　同样， 公司每天的其他管理费为 400*（60+70+40）

　=68000 元也与送水方案无关。

　所以要是利润最大， 只须是引水管理费最小即可。

　另外， 送水方案自然要受三个水可的供水量和四个取得需求量的限制。

　决策变量为 A、 B、 C、 三个水库 （i=1, 2, 3）分别向甲、 乙、 丙、 丁四个小区 （j=1, 2, 3, 4）的供水量。

　设水库 i 向 j 的日供水量为 xij。

　由于 C 水库鱼定去之间没有输水管道， 即X34=0， 因此只有 11 个决策变量。

　由上分析， 问题的目标可以从获利最多转化为引水管理费最少， 于是有 min=160*x11+130*x12+220*x13+170*x14+140*x21+130*x22+190*x23+150*x24+190*x31+200*x32+230*x33;

　约束条件有两类：

　一类是水库的供应量限制， 另一类是各区的需求量限制。

　由于供水量总能卖出并获利， 水库的供应量限制可以表示为 x11+x12+x13+x14=60;

　x21+x22+x23+x24=70;

　x31+x32+x33=40;

　考虑到歌曲的基本用水量月外用水量， 需求量限制可以表示为

　80<=x21+x11+x31;

　50<=x12+x22+x32;

　10<=x13+x23+x33;

　20<=x14+x24;

　 x21+x11+x31<=90;

　x12+x22+x32<=70;

　x13+x23+x33<=40;

　x14+x24<=70;

　将以上式子， 输入LINGO求解， 得到如下输出：

　Optimal solution found at step:

　 10

　Objective value:

　25800. 00 Variable

　 Value

　Reduced Cost X11

　0. 0000000

　20. 00000 X12

　60. 00000

　 0. 0000000 X13

　0. 0000000

　40. 00000 X14

　0. 0000000

　20. 00000 X21

　50. 00000

　 0. 0000000 X22

　0. 0000000

　0. 0000000 X23

　0. 0000000

　10. 00000 X24

　20. 00000

　 0. 0000000 X31

　30. 00000

　 0. 0000000 X32

　0. 0000000

　20. 00000 X33

　10. 00000

　 0. 0000000

　 送水方案为：

　A水库向乙区供水60千吨， B水库甲区、 丁区分别供水50， 20千吨， C水库 向 甲 、丙 分 别 供 水 30 ，10 千 吨 。引 水 管 理 费 为 25800 元 ，利 润 为161500-68000-25800=67700元。

　二． 货机装运 某架火机油三个货舱：

　前舱、 中舱、 后舱。

　三个货舱所能装载的货物最大量的体积都有限， 如下表所示， 并且， 为了保持飞机的平衡， 三个货舱中世纪装在货物的重量必须与其最大容许重量成比例。

　 前舱

　 中舱

　后舱

　 重量限制（吨）

　15

　 26

　12

　 体积限制（立方米）

　 8000

　 9000

　6000

　 现有四类货物供该伙计本次飞行装运， 其有关信息如下表所示， 最后一列之装运后所获得的利润。

　应如何安排装运， 使货机本次飞行获利最大？

　重量（吨）

　空间

　 利润（元每千吨）

　货物1

　20

　480

　3500

　 货物2

　18

　650

　4000

　货物3

　35

　600

　3500

　 货物4

　15

　390

　3000

　 问题中没有对货物装运提出其他要求， 我们可以作如下假设：

　（1）

　每种货物可以分割到任意小；

　（2）

　每种货物可以在一个或多个货舱中任意分布；

　（3）

　多种货物可以混装， 并保证不留空隙。

　决策变量：

　用Xij表示第i种货物装入第j个货舱的重量（吨）

　， 货舱j=1， 2， 3分别表示前舱、 中舱、 后舱。

　决策目标是最大化利润， 即 max=3500*(x11+x12+x13) +4000*(x21+x22+x23) +3500*(x31+x32+x33) +3000*(x41+x42+x43) ;

　约束条件包括以下4个方面：

　（1）

　供装载的四种货物的总重量约束， 即 x11+x12+x13<=20;

　x21+x22+x23<=18;

　x31+x32+x33<=35;

　x41+x42+x43<=15;

　（2）

　三个货舱的重量限制， 即 x11+x21+x31+x41<=15;

　x12+x22+x32+x42<=26;

　x13+x23+x33+x43<=12;

　（3）

　三个货舱的空间限制， 即 480*x11+650*x21+600*x31+390*x41<=8000;

　480*x12+650*x22+600*x32+390*x42<=9000;

　480*x13+650*x23+600*x33+390*x43<=6000;

　（4）

　三个货舱装入重量的平衡约束， 即 (x11+x21+x31+x41) /15=(x12+x22+x32+x42) /26;

　(x12+x22+x32+x42) /26=(x13+x23+x33+x43) /12;

　将以上模型输入LINGO求解， 可以得到：

　Optimal solution found at step:

　 10

　Objective value:

　155340. 1

　Variable

　 Value

　Reduced Cost

　 X11

　 0. 5055147

　 0. 0000000

　X12

　6. 562500

　 0. 0000000

　X13

　2. 286953

　 0. 0000000

　X21

　11. 93439

　 0. 0000000

　X22

　0. 0000000

　2526. 843

　X23

　6. 065611

　 0. 0000000

　X31

　0. 0000000

　0. 4547474E-12

　X32

　0. 0000000

　1783. 654

　X33

　1. 599359

　 0. 0000000

　X41

　0. 0000000

　1337. 740

　X42

　15. 00000

　 0. 0000000

　X43

　0. 0000000

　1337. 740

　实际上， 不妨将所得最优解四舍五入， 结果为货物1装入前舱1吨、 装入中舱7吨、装入后舱2吨； 货物2装入前舱12吨、 后舱6吨； 货物3装入后舱2吨； 货物4装入中舱15吨。最大利润为155340元。

　三． 混合泳接力队的选拔

　 某班准备从5名游泳队员中选择4人组成接力队， 参加学校的4*100m混合泳接力比赛。

　5名队员4中用字的百米平均成绩如下表所示， 问应如何让选拔队员组成接力队？

　甲

　乙

　丙

　丁

　 戊 蝶泳

　1` 06

　57` ` 2

　 1` 18

　1` 10

　1` 07

　仰泳

　1` 15

　1` 06

　1` 07

　1` 14

　1` 11

　 蛙泳

　1` 27

　1` 06

　1` 24

　1` 09

　1` 23

　自由泳

　58` ` 6

　 53` `

　 59` ` 4

　 57` ` 2

　 1` 02

　从5名队员中选出4人组成接力队， 没人一种泳姿， 且4人的用字各不相同， 是接力队的成绩最好。

　容易想到的一个办法是穷举法， 组成接力对的方案共有5！=120中， 一一计算并作比较， 即可找出最优方案。

　显然这不是解决这类问题的好办法，随着问题规模的变大， 穷举法的计算量将是无法接受的。

　可以用0-1变量表示以讴歌队员是非入选接力队， 从而建立这个问题的0-1规划模型， 借助县城的数学软件求解。

　 设甲乙丙丁戊分别为队员i=1， 2， 3， 4， 5； 即蝶泳、 仰泳、 蛙泳、 自由泳分别为泳姿j=1， 2， 3， 4. 记队员i的第j中用字的百米最好成绩为Cij（s）

　， 既有

　Cij

　I=1

　I=2

　 I=3

　I=4

　 I=5

　J=1

　 66

　57. 2

　 78

　70

　 67

　J=2

　 75

　66

　 67

　74

　 71

　J=3

　 87

　 66

　 84

　69

　 83

　J=4

　 58

　53

　 59

　57. 2

　 62

　 引入0-1变量Xij， 若选择队员i参加泳姿j的比赛， 记Xij-=1， 否则记Xij=0. 根据组成接力队的要求， Xij应该满足两个约束条件：

　第一， 没人最多只能入选4中用字之一， 记对于i=1， 2， 3， 4， 5， 应有∑Xij《=1；

　第二， 每种泳姿必须有一人而且只能有1人入选， 记对于甲， 2， 3， 4， 应有∑Xij=1；

　当队员i入选泳姿j是， CijXij表示他的成绩， 否则CijXij=0。

　于是接力队的成绩可表示为∑∑CijXij， 这就是该题的目标函数。

　将题目所给的数据带入这一模型， 并输入LINGO：

　min=66*x11+75*x12+87*x13+58. 6*x14+57. 2*x21+66*x22+66*x23+53*x24+78*x31+67*x32+84*x33+59. 4*x34+70*x41+74*x42+69*x43+57. 2*x44+67*x51+71*x52+83*x53+62*x54;

　SUBJECT TO x11+x12+x13+x14<=1;

　x21+x22+x23+x24<=1;

　x31+x32+x33+x34<=1;

　x41+x42+x43+x44<=1;

　 x11+x21+x31+x41+x51=1;

　x12+x22+x32+x42+x52=1;

　x13+x23+x33+x43+X53=1;

　x14+x24+x34+x44+X54=1;

　 @bin(X11) ; @bin(X12) ; @bin(X13) ; @bin(X14) ; @bin(X21) ; @bin(X22) ; @bin(X23) ; @bin(X24) ; @bin(X31) ; @bin(X32) ; @bin(X33) ; @bin(X34) ; @bin(X41) ; @bin(X42) ; @bin(X43) ; @bin(X44) ; @bin(X51) ; @bin(X52) ; @bin(X53) ; @bin(X54) ;

　 得到如下结果

　Optimal solution found at step:

　 12

　Objective value:

　251. 8000

　Branch count:

　0

　Variable

　 Value

　 Reduced Cost

　 X11

　0. 0000000

　66. 00000

　 X12

　0. 0000000

　75. 00000

　X13

　0. 0000000

　87. 00000 X14

　1. 000000

　 58. 60000

　 X21

　1. 000000

　 57. 20000

　 X22

　0. 0000000

　66. 00000

　 X23

　0. 0000000

　66. 00000

　 X24

　0. 0000000

　53. 00000

　 X31

　0. 0000000

　78. 00000

　 X32

　1. 000000

　 67. 00000

　X33

　0. 0000000

　84. 00000

　 X34

　0. 0000000

　59. 40000

　 X41

　 0. 0000000

　70. 00000

　 X42

　 0. 0000000

　74. 00000

　 X43

　 1. 000000

　 69. 00000

　 X44

　 0. 0000000

　57. 20000

　 X51

　 0. 0000000

　67. 00000

　 X52

　 0. 0000000

　71. 00000

　 X53

　 0. 0000000

　83. 00000

　 X54

　 0. 0000000

　62. 00000 即当派选甲乙丙丁4人组陈和积累对， 分别参加自由泳、 蝶泳、 仰泳、 蛙泳的比赛。

　数学模型（第三版）

　姜启源著

　 高等教育出版社

篇三：生活中的数学论文

六年级数学小论文 4 篇

　 ?

　篇一数学小论文 ?

　在生活中，我们可以发现有许许多多的数学知识。例如有三角形、植树问题、位置与方向只要我们细细观察，多多去想。现在就让我给大家详细讲一下三角形吧。

　在这周的星期二，爸爸带我去了宿舍楼下打篮球。爸爸问我：你知道篮球板支架是什么形的吗三角形是怎么来的呢我说支架是三角形的。但不知道三角形是怎么来的爸爸说：三角形是由三条线段首尾相连组成的封闭图形叫做三角形。三条直线所围成的图形叫平面三角形。我会意的点点头。

　在周三，我要回广州了。在机场里，我看见有个卖小木制品的地方。我看见部分东西都带有三角形，如：小房子的房檐，自行车的的三脚架，古时侯的相机的三条支架围成了个三角形可是标价太贵，我没舍得买。可是看到这些小物品，我的心里又有了一个疑问，为什么它们都带有三角形呢哦，是原来三角形具有稳定性。三角形可以使它们更坚固。出机场后，我又发现三角形了。是一个小女孩叠的小帽子我坐在爸爸派的车上，一遍遍想着那天学到的知识。就觉得很开心。

　篇二数学小论文

　?

　今天是中秋节，我们一家人可高兴了。

　爸爸妈妈说：“今天是个好日子，我们来玩一个抓纸的游戏怎么样”我点了点头，爸爸拿了 4 个形状相等，大小相同的纸，分别把 2 张红纸和 2 张蓝纸放进这个袋子里说：“这个不是透明袋子，里有 2 张红和 2 张蓝纸，如果你摸到 2 张都是红纸或 2 张都是蓝纸的话，我就给你 5 块钱，否则你给我5 块钱，好不好”我说：“那我可不干。”爸爸问：“这是为什么呀你不是也有机会挣钱吗”我有说：“虽然我也能挣钱，可是机会并没有你多呀！你想，一共有 4 张纸，如果我第一张摸到的是红色，袋子里还剩下 2 张蓝色纸和一张红色纸，那么再摸到红色的机会只有 1/3，而摸到蓝色的机会却是 2/3；如果我第一张摸到的是蓝色，那么再摸到蓝色的机会只有1/3，而摸到过红色的机会却是 2/3，所以你当然比我更容易挣钱喽。”爸爸说：“不错吗，小子，看你也挺聪明的嘛，这样也迷不到你，好吧，看你今天表现得还不错，奖励你五块钱吧！” ?

　我高兴极了，今天真是个好日子。

　篇三数学小论文 ?

　今天，我看到一道数学题：果品店把 2 千克酥糖，3千克水果糖，5 千克奶糖混合成什锦糖。已知酥糖每千克元，水果糖每千克元，奶糖每千克元。问：什锦糖每千克多少元看到这么多数据，我不禁慌了手脚，脑子里像一团乱麻，我

　静下心来，把思路理一理：已知什锦糖是由元/千克的 2 千克酥糖、元/千克的 3 千克水果糖和元/千克的 5 千克奶糖混合而成的。而数据中隐藏着一个数据没有告诉我们：什锦糖一共 10 千克。只要算出酥糖、水果糖和奶糖一共的价钱，再求出平均数就可以了。我拿起笔，在草稿纸上写下这样的算式：

　++ ?

　=++36 ?

　=+36 ?

　=（元)就是一共的价钱。

　2+3+5=10（千克）

　*（除)10=(元/千克）

　数学是无处不在的，生活中也有数学，只要动脑筋去研究，去探索，就一定能够发现其中的奥秘！

　篇四数学小论文 ?

　数学无处不在，上个假期我就深深的感到了这一点。

　有一天，妈妈带我去菜场买菜，经过世纪联华。当时超市在搞促销活动：满 38 元可以抽奖一次，设一等奖：一名，一辆电动自行车；二等奖：两名，一床被子；三等奖：5000 名，一瓶矿泉水。我缠着妈妈去购物来抽奖。一会儿，妈妈拿着购物 40 元的单据去柜台抽奖。我闭着眼睛，抽了一张刮刮卡，小心翼翼的将兑奖区刮开，真可惜，我只抽到了一瓶矿

　泉水。我不服气，又缠着妈妈去购物。妈妈告诉我：摸到电动自行车的可能性太小了，只有 5003 分之 1，因为电动自行车只有一辆，而水有 5000 瓶，抽到水的可能性有 5003 分之5000，5003 分之 1 小于 5003 分之 5000，所以抽到水的可能性大。那时我还没有“可能性”的概念，我拉着妈妈去验证。妈妈又买了许多果蔬，凑齐了 38 元。我们再次到摸奖处，妈妈抽了一张刮刮卡，把兑奖区刮开，一看还是一瓶矿泉水。我的心情好失落。

　过了一会，我又开心起来：我学会了“可能性”！谁叫那水的可能性比电动自行车的多五千多倍呢！还真不容易抽到。

篇四：生活中的数学论文

/p>

　录 摘要… …… … … ……… … … …… … … ……… … … …… … … ……… … … …… … … 1 关键词…… … … ……… … … …… … … ……… … … …… … … ……… … … …… … … 1 Abstract………………………………………………………………………………1 Key words… … … …… … … … … … … … …… … … … … … … … …… … … … … … … 1 引 言

　…… …… …… ……… ……… …… ………… ……… …… … ……… ……… …1 1

　 定积分概述… … … … … … … … … …… … … … … … … … … … … … … … … … 2 1. 1

　 定积分的定义…………………………………………………………………………2 1 . 2

　定积分的性质… … … … … … … … …… … … … … … … … … … … … … … … … 2 1 . 3

　定理及方法… … … … … … … … … …… … … … … … … … … … … … … … … … 3 2

　定 积 分 的 应 用 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 4 2. 1

　 定积分在平面图 形 面积、 旋转体体积、 曲线弧长上的应用 … … … … … … 4 2 . 2 定 积 分 在 物 理 中 的 应 用 … … … … … … … … … … … … … … … … 8 3

　 总 结 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …

　1 1 致谢……………………………………………………………………………………11 参考文献………………………………………………………………………………11

　定积分在生活中的应用 论文摘要：

　本文简要的讨论了 定积分在生活中的基本应用 。

　数学方面包括应用 定积分计算平面曲线的弧长、 平面图形的面积以及立体图形的体积和物理应用 。

　关键词：

　微元法 定积分 数列极限 The Definite Integral in Our Life of Application Abstract：

　This paper discussed the definite integral in our life of basic applications. Mathematics including application of definite integral calculation plane curve arc length, the plane figure of the area and volume of three-dimensional graph and physical applications. Key words: Micro element method definite integral sequence limit

　引

　言 本文主要介绍了定积分在生活中的应用， 定积分作为大学里很重要的一部分， 在生活有广泛的应用， 微积分是与应用联系发展起来的， 最初牛顿应用微积分是为了从万有引力导出行星三定律， 此后， 微积分极大的推动了数学的发展， 同时也极大的推动了天文学、 物理学、 化学、 工程学、 经济学等自然科学的发展， 而且随着人类知识的不断发展， 微积分正指引着人类走向认知的殿堂。

　一、 定积分的概述 1、 定积分的定义 设 函 数 f x在 区 间 , a b上 有 界 ，在 , a b中 任 意 插 入 若 干 个 分 点011nnaxxxxb，

　把区间, a b 分成 n 个小区间：

　有 01121,,,,,,,nnx xx xxx且 各个小区间的长度依次为110xxx，221xxx， …，1nnnxxx。

　在每个小区间1,iixx上任取一点i ， 作函数  if  与小区间长度ix 的乘积  iifx  （1,2,,in），并作出和 1niiiSfx。

　记12max,,,nPxxx， 如果不论对, a b 怎样分法，

　也不论在小区间1,iixx上点i 怎样取法， 只要当0P  时， 和 S 总趋于确定的极限 I ，这时我们称这个极限 I 为 函 数 f x 在区间 , a b 上的定积分（ 简称积分）， 记 作 baf x dx， 即  baf x dx= I = 01limPniiifx,

　 其中 f x 叫做被积函数， f x dx叫做被积表达式， x叫做积分变量， a 叫做积分下限，b 叫做积分上限，, a b叫做积分区间。

　2． 定积分的性质.

　设函数  f x 和  g x 在, a b 上都可积， k 是常数， 则 kf x 和 f x +  g x 都可积，并且 性质 1  bakf x dxbf x= f x dxbak;

　性质 2   ag x dx= baf x dx+ bag x dx  f x bag x dx性质 3

　定积分对于积分区间的可加性 = baf x dx- bag x dx.

　设  f x 在区间上可积， 且a ， b 和 c都是区间内的点， 则不论a ， b 和 c的相对位置如何， 都有 caf x dx= baf x dx+ cbf x dx。

　性质

　4

　 如果在区间, a b 上  f x 1， 则1badxbaf x dx=badx=ba 。

　性质

　5

　如果在区间, a b 上  f x  0 , 则  0 ab。

　性质

　6

　如果在],[ba上,Mxfm)(, 则 ababMdxxfabm)()()( 性质

　7（积分中值定堙）

　如果)(xf在],[ba上连续， 则在],[ba上至少存一点 使得 ababfdxxf))(()( 3． 定理及方法 1、 定理

　定理 1

　微积分基本定理

　如果函数  f x 在区间, a b 上连续, 则积分上限函数   x= xaf t dt在, a b 上可导, 并且它的导数是  " x= xadf t dtdx=  f x axb.

　定理 2

　原函数存在定理 如果函数  f x 在区间, a b 上连续, 则函数   x= xaf t dt就是 f x 在, a b 上的一个原函数.

　 定理 3

　如果函数 F x 是连续函数  f x 在区间, a b 上的一个原函数,

　则

　  baf x dx=  F bF a 称上面的公式为牛顿-莱布尼茨公式. 2、 方法 定积分的换元法 假设函数  f x 在区间, a b 上连续, 函数 tx满足条件 (1)    a, b   ;

　(2)

　  t在,  (或,  ) 上具有连续导数, 且其值域 R , a b , 则有  baf x dx= t t dt"f,

　上面的公式叫做定积分的换元公式.

　定积分的分部积分法 根据不定积分的分部积分法, 有

　   "bau x v x dx    u x v x dx"ba  

　    u x v x   u x v x dx"ba 

　    u x v xba  "bav x u x dx 简写为

　"bauv dx=bauv"bavu dx 或

　baudv=bauv vdu.

　二 、 定积分的应用

　一、 计算平面图形面积、 旋转体体积、 曲线弧长上的应用 1、 利用定积分计算平面图形的面积 （1）

　设连续函数)(xf和(xg)满足条件)(xg)(xf，x],[ba． 求曲线y)(xf，y)(xg及直线bxax ,所围成的平面图形的面积 S ． （如图 1）

　解法步骤：

　 第一步：

　在区间],[ba上任取一小 区间],[dxxx， 并考虑它上面的图形的面积， 这块面积可用以)]()([xgxf为高， 以 dx为底的矩形面积近似， 于是dxxgxfdS)]()([．

　第二步：

　在区间],[ba上将 dS 无限求和，得到badxxgxfS)]()([.

　（2）

　上面所诉方法是以 x 为积分变量进行微元， 再求得所围成图形的面积； 我们还可以将 y 作为积分变量进行微元， 再求围成的面积 。

　由 连 续 曲 线)(yx、)(yx其 中)()(yy与直线cy 、dy 所围成的平面图形（图 2）

　的面积为：

　dcdyyyS)]()([ 例 1

　求由曲线xysin，xycos及两直线0x，x所围成的图形的面积 A．

　解 （1）

　作出图形， 如图所示． 易知， 在], 0 [  上， 曲线xysin与xycos的交点为)22,4(； （2）

　取 x为积分变量， 积分区间为], 0 [  ． 从图中可以看出， 所围成的图形可以分成两图 2

　部分；

　（3）

　区间]4, 0 [上这一部分的面积1A 和区间],4[上这一部分的面积2 A 分别为 401)sin(cosdxxxA，

　42)cos(sindxxxA，

　所以， 所求图形的面积为 21AAA=40)sin(cosdxxx+4)cos(sindxxx

　22sincoscossin440xxxx．

　 例 2 求椭圆22221xyab 的面积.

　解 椭圆关于 x轴, y 轴均对称, 故所求面积为第一象限部分的面积的 4 倍, 即 1044aSSydx

　利用椭圆的参数方程 cossinxatybt 应用定积分的换元法,sindxatdt , 且当0x  时,,2txa时,0t  , 于是 02220204sin (cos )4sin1cos22414sin22024Sbtat dtabtdttabdttabtab

　2． 求旋转体体积 用类似求平面图形面积的思想我们也可以求一个立体图形的体积， 例如一个木块的体积， 我们可以将此木块作分割bxxxaTn10:划分成许多基本的小块，

　每 一 块 的 厚 度 为),, 2 , 1(nixi，假 设 每 一 个 基 本 的 小 块 横 切 面 积 为),, 2 , 1)((nixAi，)(xA为 ba,上连续函数， 则此小块的体积大约是iixxA)(， 将所有的小块加起来， 令0T， 我们可以得到其体积：

　ibaniiTlimdxxAxxAV)()(10 。

　 例 2

　求由曲线4xy,

　直线 1x,4x,0y绕 x 轴旋转一周而形成的立体体积.

　解

　先画图形， 因为图形绕 x轴旋转， 所以取 x为积分变量， x的变化区间为[1, 4]，相应于[1， 4]上任取一子区间[ x, x+ xd ]的小窄条， 绕 x轴旋转而形成的小旋转体体积，可用高为 xd ， 底面积为2πy 的小圆柱体体积近似代替，

　即体积微元为

　Vd=2πyxd = π2)4(xxd ,

　于是， 体积

　 42d)(xxV = π14 =16 π412d1xx 16 π411x=12 π.

　3． 求曲线的弧长 （1）

　设曲线)(xfy 在 ba,上有一阶连续导数（如下图）

　, 利用微元法， 取 x为积分变量， 在 ba,上任取小区间 xdxx, ， 切线上相应小区间的小段 MT 的长度近似代替一段小弧MN 的长度， 即dslMN. 得弧长微元为：

　dxyyxMTs222)(1)d ()d (d, 再对其积分，

　则曲线的弧长为：dxxfdxydssbababa22)]([1)(1 （2）

　参数方程表示的函数的弧长计算， 设曲线)()(tytx上,t 一段的弧长. 这时弧长微元为：

　O x x x+dx xy=4 y 1 4

　2222dxdydsdxdydtdtdt即  22dstt dt 则曲线的弧长为：dtttdss

　[[22)]()]( 例 3

　(1) 求曲线 2332xy 上从 0 到 3 一段弧的长度 解 由公式 s =xybad12

　（ ba  ）

　知, 弧长为 s =xy d1302=xx30d1=323023)1 (x=31632=314.

　 (2) 求摆线 (sin ),(1 cos )xa ttyat 在20 t上的一段弧的长度（0a）．

　解 取t为积分变量， 积分区间为]2 ． 由摆线的参数方程， 得 , 0 [)cos1 (atx，taysin，

　tatayx222222sin)cos1 (

　 |2sin|2)cos1 ( 2tata．

　于是， 由公式（16-13）， 在20 t上的一段弧的长度为22002 | sina|2 sina22ttsdtdt

　 204cos82taa

　二、 定积分在物理中的应用 1、 求变速直线运动的路程 我们知道， 作变速直线运动的物体所经过的路程 s， 等于其速度函数 v=v (t)

　( v(t)

　≥0)

　在时间区间[a, b]上的定积分， 即 ( )v t dtbas

　例 1、 一辆汽车的速度一时间曲线如图所示． 求汽车在这 1 min 行驶的路程．

　 解：

　由速度一时间曲线可知：

　3 ,010,tt    因此汽车在这 1 min 行驶的路程是：

　 1040603[30( 1.590)stdtdttdt2 104026001040|30 |(90 ) |1350( )24 答：

　汽车在这 1 min 行驶的路程是 1350m .

　 ( )v t30,10401.590,4060.ttt 01040 33ttttm  2、

　定积分在变力作功的应用

　一物体在恒力 F（单位：

　N）

　的作用下做直线运动， 如果物体沿着与 F 相同的方向移（单位：

　m) ， 则力 F 所作的功为 W=Fs .

　探究 如果物体在变力 F(x）

　的作用下做直线运动， 并且物体沿着与 F (x)

　相同的方向从 x =a 移动到 x=b (a&lt;b)

　， 那么如何计算变力 F(x）

　所作的功 W 呢？

　与求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程一样， 可以用“四步曲” 解决变力作功问题． 可以得到 ( )baWF x dx

　 例 2 设40N的力使一弹簧从原长10cm拉长到 15cm． 现要把弹簧由 15cm拉长到 20cm，需作多少功？

　解 以弹簧所在直线为 x轴， 原点 O 为弹簧不受力时一端的位置． 根据胡克定律，当把弹簧拉长 xm 时， 所需的力为 ( )F xkx，

　 （1）

　其中 k 为弹性系数， 是常数．

　根 据 题 意 ，当 把 弹 簧 由 原 长 10cm 拉 长 到 15cm 时 ，拉 伸 了 0. 05m ，把0.05x (0.05)40F代入式（1）， 得

　 400.05k，800k，

　 所以

　 ( )800F xx．

　因此当把弹簧由 15cm 拉长到 20cm， 即 x从05. 0x变到1 . 0x时， 所需作的功为

　0.10.058000.120.054003Wxdxx．

　3、 定积分在在电学中的应用 例 3、 有一均匀带电圆盘， 其半径为 R ， 电荷面密度为 （如下图）， 求圆盘轴线 上与盘心 O 相距为x的任一给定点 P 处的场强？

　分析：

　因为圆盘带电均匀分布， 所以把圆盘分成许多同心的细圆环。

　分成的细圆环同样也是均匀带电的， 要知道各细圆环在点 P 处的场强， 我们可以同样利用微元法在细圆环上任取微小的电荷元， 求出每一电荷元在点 P 的场强， 那么由场强叠加原理， 最后即可求出圆盘在点 P 处的总场强。

　 解：

　从圆盘上任取一半径为 r ， 宽度为 dr 的细圆环， 因为圆盘的面密度dSdq， 则细圆环所带的电荷量为rdrdq 2. 那么我们先来计算一下这个圆环(假设带电量为 q) 在P 点激发的场强。

　如下图所示， 在圆环上任取长度元 dl ， 电荷线密度rqdldq2， 则dl 上所带的电荷量为：dlrqdq2

　 dq在 P 点处所激发的场强为：drdqdlrrdqdE303024141 式中 d是从dl 指向 P 点的矢量， 其大小22rxd， 由于圆环上各电荷元在 P 点激发的场强dE 的方向各不相同， 为此把 dE 分解为平行于 X 轴线的分量//dE 和垂直于轴线的分量dE 。

　根据对称性， 各电荷元的场强的分矢量dE 相互抵消。

　所以 P 点的合场强是平行于 X 轴的那些分矢量//dE 之和， 即 EidEcosridldxdrqidldddrq224224020011cos1 irxqxidqx2322030)(44 从而， 带电细圆环在 P 点激发的场强为：

　idrrxrxirxxdqdE2322023220)(241)(41 那么， 带电圆盘 E 就是这些带电细小圆环所激发的场强的矢量和， 即 E dEixRidrrxrxR2200232201112)(42 ixRx22012 场强 E 的方向与圆盘相垂直， 其指向则视 的正负而定，0，E 的方向与 i同向；0，E 与 i反向。

　 3

　总结

　 从上面的论述中可以看出， 定积分的应用十分的广泛， 利用定积分来解决其他学科中的一些问题， 是十分的简洁、 方便， 由此可对见向学习、 思维的妙处. 因此我们要学会横向学习， 各个学科之间都是有联系的， 若我们能够在学习...

篇五：生活中的数学论文

11年第 18 期 总第 128 期 经济研究导刊 E C0 N 0 MI C R E SE A R C H G U IDE

　N o． 18 ， 2 0 1

　1

　S eri al N o． 12 8 数 学 建 模 在 生 活 中 的 应 用 李 苑 辉 ( 亚航空旅游职业学院 数学教研室 ， 海南 i 亚 572000) 摘要 ：

　数 学建模 就是 学习如何把物理的复 杂的世界用适 当的数学语 言描述 出来 ， 进而用数 学的手段 对模型加 以

　分析 ， 然后再 用所得结论 回归现 实， 指导实践 。

　数 学建模是联 系实际与理论的桥 梁， 是应 用数学知识解决 实际问题的必 经环节。将初 等数 学知识与生活中的实际问题术 j结合， 介绍了几种常见类型的数学建模方法。

　关键词 ：

　数学建模 ； 最优化 问题 ； 金融与经济 ； 估算与测量 中图分类号 ：

　G640 文献标志码 ：

　A 文章编号 ：

　1673— 291X (2011)18— 0321— 02 数学来源于生活 ． ． 又服务于生活。生 活中的数学建模涉 及到的问题 比较贴近我们的实际 ， 具有一定 的实践性和趣味 性， 所需知识以初等数学为主， 较容易人手与普及。因此， 生 活中的数学建模应成：

　勾培养 大众数学应用意识 、 提高学生数 学思维水平 、 分析和解决实际问题 的能力的重要途径 本文拟将初等数学知识与生活中的实际问题相结合， 对 几种常见类型的建模技巧进行简要 的分析 、 归纳 。

　一、基本概念 数学模型 ：

　把某种事物 系统 的主要 特征 、 主要关系抽象 出来 ， 用数学语言概括地或近似的表述出来 的一种数学结构 。

　它是对客观事物 的空间形式和数量关系的一个近似的反 映。

　数学建模：

　建立数学模型解决实际问题过程的简称。

　二、 建模步骤 这里所说的建模步骤只是大体上的规范， 实际操作中应 针对具体问题作具体分析， 灵活运用。

　数学建模的一般步骤如下 ：

　1． 准备模型。熟悉实际问题 ， 了解 与问题有关 的背景知 识 ， 明确建模的 目的。

　2． 建立模型。分析处理已有 的数据 、 资料 ， 用精确的数学 语言找出必要的假设 ； 利用适 当的数学工具描述有关变量和 元素的关系， 并建立相应的数学模型(如方程 、 不等式、 表格、

　图形、 函数、 逻辑运算式、 数值计算式等)。在建模时， 尽量采 用简单 的数学工具 ， 以使模型得到更广泛的应用与推广。

　3． 求解模型。

　利用数学工具 ， 对模型进行求解， 包括解方程 、

　图解、 逻辑推理、 定理证明、 性质讨论等。

　对模型求解的结果进行 分析， 根据实际问题的性质分析各变量之 间的依赖关系 ， 有时 需要根据所得结果给出数学式的预测和最优决策、 控制等。

　4． 检验模型。

　把模型分析的结果返回到实际应用中， 用实 际现象 、 数据 等检验模 型的合理性 和实用性 ， 即验证模型 的 正确性 。通常， 一个成功的模型不仅能够解释 已知现象 ， 而且 还能预言一些未知现象 。

　如果检验结果与实际不符或部分不符 ， 而且求解过程没 有错误 ， 那么问题一般 出在模 型假设上 ， 此时应该修改或补 充假设 。如果检验结果与实际相符 ， 并满足问题所要求 的精 度 ， 则认为模型可用 ， 便可进行模型应用与推广。

　三、 分类讨论 我们将按照初等数学知识在不同生活领域 的应用 ， 也即 生活中的数学建模的不 同题型作分类讨论 。

　本文节选三类问 题进行分析 ：

　最优化问题； 金融与经济； 估算与测量。

　( 一 )最优化问题 最优化应用题包括工 农业生产 、 日常生活 、 试验 、 销售 、

　投资、 比赛等方面， 分最值问题、 方案优化的选择 、 试验方案 的制定等类型。对于最值问题， 一般建立函数模型， 利用函数 的(最值 )知识转化为求函数的最值 ； 而对于方案 的优化选择 问题是将几种方案进行 比较 ， 选择最佳 的方案。

　例 l (客房的定价 问题 )：

　一个星级旅馆有 150 个客房 ， 每 间客房定价相等 ， 最高定价为 198 元 ， 最低定价为 88 元。经 过一段 时间的经营实践 ， 旅馆经理得 到了一些数据 ：

　每间客 房定价为 198元时， 住房率为 55％； 每间客房定价为 168 元 时， 住房率为 65％； 每间客房定价为 l38元时， 住房率为75％ 每 间客房定价为 108 元时 ， 住房率为 85％． 欲使旅馆每 天收 入最高， 每间客房应如何定价 ? 分析与思考 ：

　据经理提供 的数据 ， 客房定价每下降 30 元 ， 人 住率 即提 高 l0 个百分点 。相当于平均每下降 1元 ， 入住率提高 1／ 3个 百分点。囚此， 可假设随着房价的下降， 住房率呈线性增长。

　这样 ， 我们可通过建立 函数模型来求解本题 。设 Y 表示 旅馆一天的总收入， 与最高价 198 元相比每问客房降低的房 收稿 日期 ：

　2011- 0,4— 16 作者简介：

　李苑辉( 1982一 )， 男， 广东梅州人， 助教． 从事运筹学研究。

　价为x 元， 可建立数学模型：

　1 、

　) y=1 5 0×(1 98 一 x)×(0． 5 5+—解得， 当x=16． 5 时。

　Y取最大值 16 471． 125元 ， 即最大收 入对应 的住房定价为 181． 5元 。如果 为了便 于管理 ， 定价为 180 元 ／ ( 间 ·天 ) 也是可 以的， 因为此时总 收入 y=16 470 元 ，

　与理论上的最高收入之差仅为 1． 125 元。

　本题建模的关键在于 ：

　根据房价的降幅与住房率的升幅 关系， 假设两者存在着线性关系。

　( 二 )金融与经济 现代经济生活中 ， 人与金融之 间的关系 日益密切。金融 类的题 目注重了针对性 、 典型性 、 新颖性 和全面性 ， 因而对数 学素质方面的要求就更高。

　涉及金融与经济的建模题常见的有投资问题、 住房贷款 问题、 分期付款问题、 证券问题等。

　一般的做法是通过数学建 模将此类题型转化为初等数学中的常用知识点来解决， 如数 列问题 、 幂函数问题 、 不等式 问题等。

　例 2( 购房贷款) ：

　小李年初向银行贷款 20 万元用于购 房。

　已知购房贷款的年利率优惠为 10％， 按复利计算。

　若这笔 贷款要求分 10次等额归还， 每年一次， 并从借款后次年年初 开始归还， 问每年应还多少元(精确到 1元) ? 分析与思考 ：

　已知贷款数额、 贷款利率、 归还年限， 要求出每年的归还 额。

　本题即可化为求每年的归还额与贷款数额、 贷款利率 、 归 还年限的关系。

　不妨先把这个问题作一般化处理。

　设某人向银行贷款元 M0， 年利率为 ， 按复利计算( 即本年的利息记人次年 的本金 生息)， 并从借款后次年年初开始每次 k 元等额归还， 第 1 3次 全部还清。那么， 一年后欠款数 MF ( 1+ 两年后欠款数 M2 =( 1+ 0【 )M 一 k =(1+0【 ) Mo - k[(1+

　)Mo — k )+11

　n年后 己

　激 M =(1+ )M 一 k：

　(1+d )M。

　一_ k _l 由 M I 1 = 0可 得 k =

　等

　这就是每年归还额与贷款数额、 贷款利率、 归还年限之 间的关系式 。

　对于上述购房问题。

　将 O f ． =0． 1， Mo =200 000， n=10代入得 一 L

　l+

　_ l¨ 一 l k= ~ 32 549_6( 元 ) 故每年应还 32 550 元 。

　本题建模的关键在于：将求每年的归还额与贷款数额、

　贷款利率、 归还年限的关系化为数列计算问题。

　(三)估算与测量 估计与测量是数学中最古老的问题。

　估算与测量类的建 模题 ， 其背景包括人们 日常生活和生产、 科学技术等方面的 些测量 、 估算 、 计算。

　对于估算与测量的题 目， 一般要先理解好题意 ， 正确建 模， 然后通过周密的运算， 找出结论。

　这类题目常常可转化为 函数 、 不等式、 数列、 二项式定理展开式、 三角函数等知识进 行处理。

　例 3(挑选水果问题 )：

　上街买水果， 人们总喜欢挑大的，

　这是否合理呢 ? 分析与思考 ：

　从什么角度来分析此问题 呢 ? 要判断合理与否 ， 首先要 明确判断的标准。

　一般来说， 买水果主要供食用。

　故下面从可 食率这个角度加 以分析。

　水果种类繁多， 形状各异， 但总的是近似球形居多。

　故可 假设水果为球形， 半径为 R ， 建立一个球的模型来求解此题。

　挑选水果的原则是可食率较大。

　由于同种水果的果肉部 分的密度分布均匀， 则可食率可以用可食部分与整个水果的 体积之比来表示。分以下几种不同类型的水果分别剖析：

　1． 果皮较厚且核较小的水果， 如西瓜、 橘子等。同类水果 的皮厚度差异不大， 假设是均匀的， 其厚为 d， 易得 一}订(R— d)3，

　，

　可 食 率=

　j_ ：

　(1 - d) ¨ 2_果皮较厚且有核(或籽集)较大的水果 ， 如南方的白梨 瓜等。

　此类水果计算可食率时， 不但要去皮且要去核。

　设核半 径为 kR (k 为常数 ， 0<k<1)， 易得 4 3

　4 3

　可 食 率 =

　— ～ —

　— 5l— 一 =(

　R

　3’。

　上两式中， d 为常数 ， 当R 越大即水果越大时， 可食率越 大， 越合算。

　3． 有些水果尽管皮很薄， 但考虑卫生与外界污染 ， 必 须去皮食用 ， 如葡萄等。此类水果与( 1)类似， 可知也是越 大越合算。

　本题建模 的关 键在 于 ：

　从 可食率 人手 ， 利 用水 果的近似 球形， 建立一个球的模型 ， 将求可食率的大小转化为求关于 水果半径 R 的单调性。

　生活 中的数学建模是在实际 问题与初 等数学 知识 之间 架起一座桥梁 ， 使初等数学知识在不同领域的应用得以生动 地展示， 再现数学知识的产生、 形成和应用的过程。

　我们的数学建模应该密切关注生活， 将知识综合拓广，

　使之立意高 ， 情境新， 充满时代气息。这对培养思维的灵活 性， 敏捷性， 深刻性， 广阔性， 创造性是大有益处的。

　可食率 ：

　：(1 -鲁 卜 k、 ，

　卜，

　参考文献 ：

　[1】

　卜月华． 中学数学建模教与学【 M】

　． 江苏：

　东南大学出版社， 2002．

　【 2】马春华， 郑小玲． 高中数学应 用题题型突破例释【 M]． 北京：

　龙 门书局， 2002．

　【 3] 李云鼎， 许少华． 点击解析几何【 J 1 ． 中学数学杂志(高中)， 2006， (1)：

　45— 48．

　【 4] 上海市中学生数学应用知识竞赛委员会． 中学应用数学竞赛题萃 [5】金明烈． 中学数学应用[M 】

　． 乌鲁木齐：

　新疆大学出 版社， 2000．

　】

　． 上海：

　华东师范大学出版社， 2002．

　[责任编辑魏 杰】

　·-——322 ． -— —

篇六：生活中的数学论文

数学在生活中的应用

　摘要：

　数学与社会的方方面面都有十分密切的联系, 为了 激发培养学生学习数学的兴趣和应用数学知识的能力, 通过几个与日 常生活相关的数学应用问题， 阐明数学应用的重要性和广泛性。

　关键词：

　数学 生活应用 重要性

　数学应用， 简而言之就是用数学的意识， 即用数学的眼光、 从数学的角度观察事物， 阐释现象、 分析问题、 解决问题。

　从数学应用的角度处理数学内容， 加强数学的应用实践环节， 让数学尽可能的贴近生活能有效地激发学生的学趣,

　就会收到良好的教学效果。

　数学家希尔伯特说: “数学是我们时代有势力的科学, 它不声不响地扩大它所征服的领域.

　” 随着科学技术的迅猛发展, 现代数学以技术化的方式迅速辐射到统计、 税收、 股票、 金融、 保险、 贸易和农业生产等领域, 成为人们在日 常生活中关注的一个焦点.

　笔者结合教学实践, 收集了 生活中的几个数学问题, 对于激发学生学习数学的兴趣大有裨益.

　一、 数学在经济领域中的应用 1.

　求盈亏转折点或供需平衡点———相交直线的应用 问题:

　某厂日 产手表的总成本y (元)

　与手表日 产量x (块)

　之间有成本函数y = 10x + 4000,

　而手表的出厂价格为每块20 (元)

　且可全部售出。

　试问该厂至少应日 产手表多少块才不亏本(即求盈亏转折点)

　? 已知解这类问题用的是相交直线的交点问题,

　即求出由两条直钱的 方程组成的方程组的解,

　此解即为所求的盈亏转折点或供需平衡点。(这里略解)

　2.

　计算利息、 工资总额———数列的应用 问题: 已知一笔资金的本金P = 10000元, 单利率i = 0.

　24% , 期数n = 10, 求本利和F1 0 解:

　根据单利公式Fn = P (1 + ni)

　,

　得F10 = 10000 (1 + 10 × 0.

　24% )

　= 10240元。

　从以上的例子可以看出:

　题中所用的是求数列中的某一项。

　如果不 了 解数列的这些知识,

　就很难准确地解决这个问题。

　3.

　求最小成本、 最大利润问题———函数的应用 问题：

　仪器厂生产的某种精密仪器,

　每年产量为Q 台,

　产理与销量一致, 总成本函数为C (Q)

　= 40 + 0.

　1Q2 ,

　该产品需求函数为Q = 39.

　6 - P,

　价格、 成本、 收益、 利润等的单位为“万元” 。求:

　(1)

　产量为多少时,

　平均成本最低? 并求此时的平均成本。

　(2)

　产量为多少时,

　总利润最大? 最大利润是多少? 此类问题是导数的应用,

　即求出平均成本函数和利润函数的导数,

　并求出它们的导数为零时的产量Q的值,

　就是所求的产量,

　再将此产量代入平均成本函数和总利润函数便可得到最低平均成本和最大利润。

　(解略)

　经济问题对于每个人都不陌生， 教师只要在对这一类问题做以简单的联系， 这样既加深理解又可以学以致用， 使学生的数学学习兴趣近一步提高。

　二、 数学在自 然规律中的应用 问题：已知 a ,

　b ,

　c 是非负整数, 有 28a + 30b + 31c = 365 , 求 a + b + c 的值.

　分析 这道题初看上去, 给人的感觉是无从下手, 一个方程三个未知数, 一般来说是很难确定其解的, 观察题中系数是: 28 , 30 , 31 ,

　364 , 联想生活常识, 它们恰巧分别是: 一年中 2 月 份的天数, 小月 的天数、 大月 的天数以及全年的总天数, 根据条件 28 a + 30 b + 31 c = 365可知, 要求 a ,

　b ,

　c , 只要分别算出 1 年中 2 月 份和小月 、 大月 的数量即可, 显然, 1 年中 2 月 份的数量是 1 , 小月 的数量是 4(4 月 、 6 月 、 9 月 、11 月 )

　, 大月 的数量是 7(1 月 、 3 月 、 5 月 、 7 月 、 8 月 、 10 月 、 12 月 )

　,即有 a = 1 ,

　b = 4 ,

　c = 7 , 所以 a + b + c = 1 + 4 + 7 = 12.

　三、 数学在生产和生活中的应用 1、 方程在生活中的应用 问题：一个人喝少量酒后, 血液中酒精含量将迅速上升到 0.

　3 mgPmL , 在停止喝酒后, 血液中的酒精含量以每小时 50 %的速度减少. 假若法例规定, 驾驶员 血液中的酒精含量不得超过 0.

　08

　mgPmL , 问喝酒后多少小时才能驾驶? 解：

　设喝酒 x 小时后才能驾驶,

　x 小时后, 血液中酒精含量达得方程0.

　3 (1 - 50 %)

　x = 0.

　3 × 0.

　5 x , 0.

　3 × 0.

　5 x = 0.

　08 , 0.

　5 x = 0.

　2667 , xlg0.

　5 = lg0.

　2667 , 所以 x = 1.

　91 (h)

　.

　2、 三角函数在生产中的应用 问题：

　利用农药喷雾器杀虫时， 如果想使喷洒面积大一些， 应用什么方法， 请用数学知识解释。

　解：

　喷雾器喷出的水雾形成一个圆锥体， 设边缘相对两根母线夹角为θ ， 喷头离水稻叶面高为 h， 则2tanhr，2tanhr ，喷洒面积2tan222hrS， 由 此可见， θ一定时， h 越大， S 也越大， 也就是喷嘴举高一些， 喷洒的面积也越大。

　只 有让学生感受到数学在自 己身边,

　才能明白为什么要学数学,

　并且能够树立学习数学的信心。

　知识来源于生活,

　还要用到生活中去,让它为我们的生活服务,

　解决生活中的实际问题。

　四、 不等式在决策中的应用 问题：有一批影碟机原销售价为每台800 元, 在甲、 乙两家家电商场均有销售, 甲商场用如下方法促销, 买一台单价为780 元, 买两台每台单价都为760 元, 以此类推, 每多买一台则为所买各台单价均再减少20 元, 但每台最低价不能低于440 元.

　乙商场一律都按原价的75 % 销售.

　某单位需购买一批影碟机, 问去哪家商场购买花费较少? 解：

　设该单位需购买x 台影碟机, 则在甲商场的花费S甲= x[780 - 20 ( x - 1)

　]

　; 在乙商场的花费S乙= x · 800 · 75 %,

　S甲- S乙= x[780 - 20( x - 1)

　]

　- x · 800 · 75 % = 200 x - 20 x2 = 20 x (10 - x)

　, 所以, 当x < 10 时,

　S甲> S乙; 当x = 10 时,

　S甲= S乙; 当x > 10 时, S甲< S乙.

　五、 在其它方面的应用 h r

　1.

　在科学研究中的应用 我们知道数学是以真实的外界现象和过程、 以抽象的数量关系形式反映各观规律的。

　现在,

　许多重大科学技术问题不利用数学方法便不能解决。

　在经济研究中,

　数量关系起着相当重要的作用,

　不能不是利用数学的重要领域。

　2.

　在其它学科上的应用 数学在经济中的应用也是极其广泛的,

　虽然不可能在较少的教学时数的情况下,

　让学生去讨论经济中复杂的数学方法,

　但仍可选择适合学生程度的经济方面的实例,

　结合专业进行教学,

　把数学和专业有机地结升起来,

　让学生在学习数学知识的同时,

　看到它在专业中的实用价值,

　对学生应用能力培养是大有益处的。

　由以上几个方面可以看出,

　数学来源于实际， 应用于实际， 数学与人们的生活质量和工作效率息息相关， 也为其它学科的建立和发展提供了 条件和基础、 方法和思想。

　随着经济社会自 然的协调发展,

　人们更加需要重视数学,

　学习数学,

　依赖数学。

　数学知识应用 的教学尝试,

　使我们领悟到这项工作是长期的,

　经常的,

　不能搞突击。

　平时注意要将较复杂的问题化整为零,

　把生活实践中的数学现象融入数学课堂中， 注重数学模型观的渗透， 强调数学语言的广泛使用、 交流和表达， 并要抓住一切可切入机会,

　把问题渗透到各个环节。另 外我们在平时要注意积累身边的素材,

　多从各类书籍中汲取营养, 为学生在应用中提取和运用理论创造有利条件。

　数学知识的应用在第二课堂还有广阔的空间,

　愿大家都来努力实践吧!

　参考文献：

　1、 中华人民共和国教育部制订， 《全日 制义务教育数学课程标准（ 实验稿）》 , 北京：

　北京师范大出版社, 2001.

　2、 教育部基础教育司， 数学课程标准研制组编， 《全日 制义务教育数学课程标准解读（ 实验稿）》 , 北京：

　北京师范大出版社, 2002 3、 陕西师大杂志社出版发行， 《中学数学教学参考》

　1999 年第 9 期

篇七：生活中的数学论文

学建模论文

　题

　目

　 生活中的数学建模问题

　学

　院

　 理

　学

　院

　专业班级

　 数

　学

　111

　班

　 学生姓名

　张

　妍

　 成

　绩

　 2013 年 12 月 1 日

　 摘要

　 在日常生活中，我们会遇到各种各样的问题，其实许多问题都可以运用数学建模的知识来解决。平时老师分派给我们任务时，为了尽快的去完成，我们同学之间分工合作，这就可以建立模型求解。本文就是利用建立数学模型来解决生活中的几个实际问题。其基本依据是建立数学模型，用 LINGO 软件来求解。

　 关键词 ：最优解，策略，LINGO

　正文

　模型1：给教室刷墙问题（目标规划）

　在校庆来临之前，学校准备给教室粉刷墙壁，现有3种类型的教室，分别用A,B,C来表示3种不同的教室,具体相关数据如表所示。某班同学承担了该任务，每天工作8小时，试问在一个星期内该班同学获得的最大利润。

　 数据 类型 工时 (h/间) 教室总个数 （间）

　利润 （元/间）

　A A

　2 30 30 B B

　1.5 20 50 C C

　1 10 70 基本模型

　如果用x1,x2,x3分别表示A,B,C三种教室粉刷的个数，一星期正常生产工时为56小时，则问题可以归结为下面的数序模型 目标函数

　max=30*x1+50*x2+70*x3;

　 约束条件 x1<=30; x2<=20; x3<=10; 2*x1+1.5*x2+x3<=56; x1>=0; x2>=0; x3>=0;

　 模型求解 max=30*x1+50*x2+70*x3;

　 x1<=30; x2<=20; x3<=10; 2*x1+1.5*x2+x3<=56; x1>=0; x2>=0; x3>=0; 输入LINGO软件求得最优解如下：

　Optimal solution found at step:

　 0

　Objective value:

　 1940.000

　Variable

　 Value

　Reduced Cost

　X1

　8.000000

　 0.0000000

　X2

　20.00000

　 0.0000000

　X3

　10.00000

　 0.0000000

　Row

　Slack or Surplus

　Dual Price

　 1

　1940.000

　1.000000

　 2

　22.00000

　 0.0000000

　 3

　 0.0000000

　27.50000

　 4

　 0.0000000

　55.00000

　 5

　 0.0000000

　15.00000

　 6

　8.000000

　 0.0000000

　 7

　20.00000

　 0.0000000

　 8

　10.00000

　 0.0000000 最优解 由LINGO计算得到该班同学粉刷8间A教室，20间B教室，10间C教室获得的利润最大，最大利润为1940元。

　模型2：学生选课策略（0-1规划模型）

　新学期马上要来临了，在新学期之前，同学们得通过教务处网站进行选课，选课基本信息表如下：

　课号 课名 学分 所属类型 先修课要求 1 微积分 5 数学

　2 线性代数 4 数学

　3 最优化方法 4 数学；运筹学 微积分；线性代数 4 数据结构 3 数学；计算机 计算机编程

　 5 应用统计 4 数学；运筹学 微积分；线性代数 6 计算机模拟 3 计算机；运筹学 计算机编程 7 计算机编程 2 计算机

　8 预测理论 2 运筹学 应用统计 9 数学实验 3 计算机；运筹学 微积分；线性代数 要求至少选两门数学课、三门运筹学课和两门计算机课，问了选修课程门数最少，应学习哪些课程？

　 决策变量

　用x i 表示所选修的课程，i表示选修课程的课程号（i=0表示不选，i<=9）

　 目标函数

　min=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9;

　 约束条件

　x1+x2+x3+x4+x5>=2; x3+x5+x6+x8+x9>=3; x4+x6+x7+x9>=2; 2*x3-x1-x2<=0; x4-x7<=0; 2*x5-x1-x2<=0; x6-x7<=0; x8-x5<=0; 2*x9-x1-x2<=0; @bin(x1);@bin(x2);@bin(x3); @bin(x4);@bin(x5);@bin(x6); @bin(x7);@bin(x8);@bin(x9); 模型求解

　min=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9; x1+x2+x3+x4+x5>=2; x3+x5+x6+x8+x9>=3; x4+x6+x7+x9>=2; 2*x3-x1-x2<=0; x4-x7<=0; 2*x5-x1-x2<=0; x6-x7<=0; x8-x5<=0; 2*x9-x1-x2<=0; @bin(x1);@bin(x2);@bin(x3); @bin(x4);@bin(x5);@bin(x6); @bin(x7);@bin(x8);@bin(x9); 输入LINGO软件求得最优解如下：

　 Optimal solution found at step:

　25

　Objective value:

　 6.000000

　Branch count:

　 2

　Variable

　 Value

　Reduced Cost

　X1

　1.000000

　1.000000

　X2

　1.000000

　1.000000

　X3

　1.000000

　1.000000

　X4

　 0.0000000

　1.000000

　X5

　1.000000

　1.000000

　X6

　 0.0000000

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　X7

　1.000000

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　X8

　 0.0000000

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　X9

　1.000000

　1.000000

　Row

　Slack or Surplus

　Dual Price

　 1

　6.000000

　1.000000

　 2

　2.000000

　 0.0000000

　 3

　 0.0000000

　 0.0000000

　 4

　 0.0000000

　 0.0000000

　 5

　 0.0000000

　 0.0000000

　 6

　1.000000

　 0.0000000

　 7

　 0.0000000

　 0.0000000

　 8

　1.000000

　 0.0000000

　 9

　1.000000

　 0.0000000

　10

　 0.0000000

　 0.0000000 最优解 由LINGO计算得到x1=x2=x3=x5=x7=x9=1，其他为0时，满足选课要求，课程门数为6门，总学分为22分。

　模型2：商店销售模型（非线性规划模型）

　学校购物中心最近使用一种新型的售货方式：自动售货机，其中包含两种畅销产品，其售价分别为20元和380元，据统计，售出一件A产品的平均时间为0.5小时，而售出一件B产品的平均时间与其销售的数量成正比，表达式为1+0.2n，若该商店的总营业时间为1000小时，试确定使其营业额最大的营业计划。

　 决策变量

　用x1和x2分别代表商店经销A、B两种产品的件数

　 目标函数

　max=20*x1+380*x2;

　 约束条件

　0.5*x1+x2+0.2*x2*x2<=1000; x1>=0; x2>=0;

　模型求解

　max=20*x1+380*x2; 0.5*x1+x2+0.2*x2*x2<=1000; x1>=0; x2>=0;

　 输入LINGO软件求得最优解如下：

　Optimal solution found at step:

　10

　Objective value:

　 43612.50

　Variable

　 Value

　Reduced Cost

　X1

　1776.875

　 0.0000000

　X2

　21.25000

　 0.0000000

　Row

　Slack or Surplus

　Dual Price

　 1

　43612.50

　1.000000

　 2

　 0.0000000

　40.00000

　 3

　1776.875

　 0.2033529E-05

　 4

　21.25000

　 0.0000000 最优解 由LINGO计算得到x1=1776.875，x2=21.25，如此得到的营业额最大，营业额为43612.50元。

　参考文献

　【1】数学模型

　谢金星主编

　高等教育出版社，，2003 【2】数学建模案例分析 白其峥主编 北京：海洋出版社，2000 【3】数学建模案例精选 朱道元等编著 北京：科学出版社，2003

篇八：生活中的数学论文

学· 魅力欺形生灞．中鹪錾掌．．一“ 立体几何，，应用赏析王海平．．j ．：” 一、阿波罗提出的难题——倍立方体问题，j 。。传说在公元前4世纪，古希腊的雅典流行某种瘟疫，为了消除灾难，雅典人向神求助．神谕说，“ 要使瘟疫不流行，除非把太阳神阿波罗殿前的立方体香案的体积扩大一倍．” 雅典人很高兴，他们认为这很容易办到，于是把旧香案的各条棱都放大了一倍，做了一个新的立方体香案．新香案放到殿前后，人们以为可以心安理得了，未曾想疫势更加猖獗．雅典人没有办法，只得再去祈求神谕，神谕明白地告诉他们，新香案的体积并不是旧香案的两倍，这下人们被难住了．据说人们把问题提到柏拉图那里，柏拉图又将问题交给了几何学家．不管传说是不是真的，倍立方体问题确实曾在柏拉图的学院里研究过，并且欧多克斯、梅纳科莫斯、甚至柏拉图本人都给出过高等几何的解法．我们知道，倍立方体、化圆为方、三等分角这三个问题并称为几何三大难题，为初等几何作图中的三大作图不能问题．之所以不能，是因为作图条件是有限制的：只能使用圆规和无刻度的直尺．这是古希腊人对作图的要求．在《几何原本》中，欧几里得对几何作图给出了明确的规定；作图的工具只能是直尺和圆规，直尺是没有刻度的，只能用来画线和进行线段延长．圆规只能用来画圆或画弧．这两种工具的使用次数还必须是有限的，否则都算作图不能问题．对于倍立方体问题，事实上，要作出棱长是√2的立方体，而√2的棱长是无法通过圆规和直尺有限次使用而作出的，因而倍立体问题便成为一个作图不能问题．倍立方体问题的第一个进展，无疑是希波克拉底对此问题的简化：作两给定线段s和2s的两个比例中项．如果我们令z和Y表示这两个比例中项，则5；z=z：Y=Y：2s．在这几个比例式中有z2一sy，Y2—2sx，消去Y得z3—2s3，于是以z为边长的立方体的体积就等于以s为边长的立方体的体积的二倍．在希波克拉底作出简化后，倍立方体问题就成为求两给定线段的两个比例中项的问题了．这样，陆续出来了一些高等几何的解法，用带刻度的尺也能解决这个问题了．毒每0二、地图的绘制④我们都知道地球并非扁平的，但为了携带方便，我们要把地图描绘在一张长方形的纸上．由于地球类似于球体，因而画在球面上的地图是最精密的地图．一幅球面的地图显示出：喜万方数据

　Y⋯。，⋯’ ’——所有经线长度都相等而且相交于极点；——所有的纬线都平行；——纬线环绕着球体，越近极点变得越小；——两经线夹在任意两条纬线间的距离相等；——纬线与经线相交成直角．然而在一张扁平的纸上是不可能画出一张精确的地图的．结果球形地图的投影也就应运而生．不同类型的投影会使地图上某个特殊的区域较为精确．投影几何的概念对于制作不同的地图是非常有用的．例如，麦卡脱式投影( 柱状或管状投影) 对于接近赤道的区域是较为精确的．麦卡脱式投影的经线并不交汇予极点，因而接近极点的地域显得比实际要来得大．另一方面，天顶投影却能使极点地区较为精确．在地图绘制中也用到其他类型的投影，如方位投影、圆锥投影、正弦投影、等积比投影、断续投影等等．但如果我们用了某种投影，那么地图上必然会有一些部分产生歪曲．这就解释了为什么领航员面对不同的区域及不同的领航种类( 空中或海洋) 时，需要用不同的地图或地图的组合．如果没有投影几何、比例、绘图学以及球面几何等知识，地图的绘制只能停留在原始的阶段．三、蜂房中的数学蜜蜂是出色的建筑师，它们建筑的蜂房就是自然界的诸多奇迹中的一个．蜂房蜂房是正六棱柱形的，它的底是由三个全等的菱形组成的．达尔文称赞蜜蜂的建筑艺术，说它是：“ 天才的工程师．”公元4世纪，数学家巴普士就告诉我们：正六棱柱的蜂房是一种最经济的形状，在其他条件相同的情况下，这种结构的容积最大，所用的材料最少．他给出了严格的证明．看来我们不得不为蜜蜂的高超的建筑艺术所折服．现在许多建筑师开始模仿蜂房的结构，把它们应用到建筑的实践中去．j ．" ! ；：妻四、晶体——自然界中的多j 、’～羔羔⋯．一面签⋯．一一～一从古代起，多面体便出现在数学著作中，然而它们的起源却是更加的古老，几乎可以与自然界自身的起源联系在一起．晶体常常生长成多面体的形状．例如，氯酸钠的晶体呈现为立方体和四面体的形状；铬矾的晶体有着八面体的形状．令人迷惑不解的是，在一种海洋微生物放射虫类的骨骼结构中，居然也出现十二面体和二十面体的晶状体．一个正多面体的所有面都一样，所有边都相等，而且所有角也全都相等．多面体有着无数种类型，但正多面体却只有五种．正多面体也称柏拉图体，柏拉图约于公元前400年独立发现了它，后人为此予以命名．然而正多面体的存在，人们早在毕达哥拉斯之前就已知道．埃及人甚至把它们中的某些用在的建筑和其他物件中．五种柏拉图体正四面体 @ ◇◎ ⑨正六面体正八面体正十二面体正二十面体万方数据

篇九：生活中的数学论文

目

　录 摘要……………………………………………………………………………………1 关键词…………………………………………………………………………………1 Abstract………………………………………………………………………………1 Key words……………………………………………………………………………1 引言

　…………………………………………………………………………………1 1

　定积分概述……………………………………………………………………2 1.1

　 定积分的定义…………………………………………………………………………2 1.2

　定积分的性质…………………………………………………………………2 1.3

　定理及方法……………………………………………………………………3 2

　 定 积 分 的 应 用 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 4 2.1

　定积分在平面图形面积、旋转体体积、曲线弧长上的应用………………4 2 . 2 定 积 分 在 物 理 中 的 应 用 … … … … … … … … … … … … … … … … 8 3

　总结………………………………………………………………………… 11 致谢……………………………………………………………………………………11 参考文献………………………………………………………………………………11

　 定积分在生活中的应用 数学与应用数学专业学生

　郑剑锋 指导教师

　徐玉梅 论文摘要 ：

　本文简要的讨论了定积分在生活中的基本应用。数学方面包括应用定积分计算平面曲线的弧长、平面图形的面积以及立体图形的体积和物理应用。

　关键词 ：微元法 定积分 数列极限 The Definite Integral in Our Life of Application Student majoring in mathematics and applied mathematics

　Jianfeng Zheng

　Tutor

　 Yumei Xu Abstract ：

　This paper discussed the definite integral in our life of basic applications. Mathematics including application of definite integral calculation plane curve arc length, the plane figure of the area and volume of three-dimensional graph and physical applications. Key

　words: :

　Micro element method definite integral sequence limit

　 引 言

　本文主要介绍了定积分在生活中的应用，定积分作为大学里很重要的一部分，在生活有广泛的应用，微积分是与应用联系发展起来的，最初牛顿应用微积分是为了从万有引力导出行星三定律，此后，微积分极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天

　文学、物理学、化学、工程学、经济学等自然科学的发展，而且随着人类知识的不断发展，微积分正指引着人类走向认知的殿堂。

　 一、定积分的概述 1、定积分的定义 设 函 数   f x 在 区 间   , a b 上 有 界 ， 在   , a b 中 任 意 插 入 若 干 个 分 点0 1 1 n na x x x x b      ， 把区间   , a b 分成 n 个小区间：

　 有      0 1 1 2 1, , , , , , ,n nx x x x x x且 各个小区间的长度依次为1 1 0x x x    ，2 2 1x x x    ，…，1 n n nx x x   。在每个小区间 1 , i ix x上任取一点i ，作函数  if  与小区间长度ix  的乘积  i if x   （ 1,2, , i n  ），并作出和  1ni iiS f x  。记  1 2max , , ,nP x x x     ，如果不论对   , a b 怎样分法，也不论在小区间  1 , i ix x上点i 怎样取法，只要当 0 P  时，和 S 总趋于确定的极限 I ，这时我们称这个极限 I 为函数   f x 在区间   , a b 上的定积分（简称积分），记作 baf x dx，即  baf x dx= I =  01limni iPif x ,

　其中   f x 叫做 被积函数，   f x dx 叫做 被积表达式， x 叫做 积分变量， a 叫做 积分下限，b 叫做 积分上限，  , a b 叫做 积分区间。

　2 2 ．定积分的性质.

　设函数   f x 和   g x 在   , a b 上都可积， k 是常数，则   kf x 和   f x +   g x 都可积，并且 性质 1  bakf x dx=  bak f x dx; 性质 2 2    baf x g x dx     =  baf x dx+  bag x dx    baf x g x dx     =  baf x dx-  bag x dx. 性质 3

　定积分对于积分区间的可加性 设   f x 在区间上可积，且 a ， b 和 c 都是区间内的点，则不论 a ， b 和 c 的相对位臵如何，都有  caf x dx=  baf x dx+  cbf x dx。

　性质

　4

　 如果在区间   , a b 上   f x  1，则 1badx=badx= b a  。

　性质

　5 5

　如果在区间   , a b 上   f x  0 ,则  baf x dx 0   a b  。

　性质

　6 6

　如果在 ] , [ b a 上, M x f m   ) ( ,则    baa b M dx x f a b m ) ( ) ( ) (

　性质

　7 7（积分中值定堙）如果 ) (x f 在 ] , [ b a 上连续，则在 ] , [ b a 上至少存一点  使得  baa b f dx x f ) )( ( ) ( 

　3．定理及方法 1 1 、定理

　定理 1

　微积分基本定理

　如果函数   f x 在区间   , a b 上连续,则积分上限函数   x  =  xaf t dt在   , a b 上可导,并且它的导数是   " x  = xad f t dtdx=   f x   a x b   .

　定理

　2 2

　原函数存在定理 如果函数   f x 在区间   , a b 上连续,则函数   x  =  xaf t dt就是   f x 在   , a b 上的一个原函数.

　定理 3 3

　如果函数   F x 是连续函数   f x 在区间   , a b 上的一个原函数, 则

　  baf x d x=     F b F a 

　称上面的公式为 牛顿- - 莱布尼茨公式 . 2 2 、方法

　定积分的换元法

　假设函数   f x 在区间   , a b 上连续,函数  x t  满足条件 (1)   a    ,   b    ; (2)   t  在   ,   (或   ,   )上具有连续导数,且其值域 R     , a b ,则有  baf x dx=     " f t t dt     , 上面的公式叫做定积分的换元公式. 定积分的分部积分法

　根据不定积分的分部积分法,有

　    "bau x v x d x

　    "bau x v x dx   

　        "bau x v x u x v x dx    

　   bau x v x        "bav x u x d x 简写为

　 "bau v d x= bauv "bavu dx 或 baudv= bauv vdu. 二 、定积分的应用

　一、计算平面图形面积、旋转体体积、曲线弧长上的应用 1、利用定积分计算平面图形的面积 （1）设连续函数 ) (x f 和 ) (x g 满足条件 ) (x g  ) (x f ，  x ] , [ b a ．求曲线  y ) (x f ， y ) (x g 及直线 b x a x   , 所围成的平面图形的面积 S ．（如图 1）

　解法步骤：

　第一步：在区间 ] , [ b a 上任取一小区间 ] , [ dx x x  ，并考虑它上面的图形的面积，这块面积可用以 )] ( ) ( [ x g x f  为高，以 dx 为底的矩形面积近似，于是 dx x g x f dS )] ( ) ( [   ． 第二步：在区间 ] , [ b a 上将 dS 无限求和，得到 badx x g x f S )] ( ) ( [ . （2）上面所诉方法是以 x 为积分变量进行微元，再求得所围成图形的面积；我们还可以将 y 作为积分变量进行微元，再求围成的面积。由连续曲线 ) (y x   、 ) (y x   其中 ) ( ) ( y y    与直线 c y  、 d y  所围成的平面图形（图 2）的面积为：

　 dcdy y y S )] ( ) ( [  

　例 例 1 1

　求由曲线 x y sin  ， x y cos  及两直线 0  x ，   x 所围成的图形的面积 A ． 解 （1）作出图形，如图所示．易知，在 ] , 0 [  上，曲线 x y sin  与 x y cos  的交点为 )22,4(  ；

　（2）取 x 为积分变量，积分区间为 ] , 0 [  ．从图中可以看出，所围成的图形可以分成两部分；

　（3）区间 ]4, 0 [上这一部分的面积1A 和区间 ] ,4[ 上这一部分的面积2A 分别为  401) sin (cosdx x x A ，  42) cos (sin dx x x A ， 所以，所求图形的面积为 2 1A A A   =  40) sin (cosdx x x +  4) cos (sin dx x x

　     2 2 sin cos cos sin440     x x x x ．

　例 例 2 求椭圆2 22 21x ya b  的面积. 解

　椭圆关于 x 轴, y 轴均对称,故所求面积为第一象限部分的面积的 4 倍,即 104 4aS S ydx  

　利用椭圆的参数方程 cossinx a ty b t  应用定积分的换元法, sin dx a tdt   ,且当 0 x  时, ,2t x a  时, 0 t  ,于是 02220204 sin ( cos )4 sin1 cos24214 sin2 22 40S b t a t dtab tdttab dttab t ab      

　 2．求旋转体体积 用类似求平面图形面积的思想我们也可以求一个立体图形的体积，例如一个木块的

　体积，我们可以将此木块作分割 b x x x a Tn      1 0: 划分成许多基本的小块，每 一 块 的 厚 度 为 ) , , 2 , 1 ( n i x i    ， 假 设 每 一 个 基 本 的 小 块 横 切 面 积 为) , , 2 , 1 )( ( n i x Ai  ， ) (x A 为   b a, 上连续函数，则此小块的体积大约是i ix x A  ) ( ，将所有的小块加起来，令 0  T ，我们可以得到其体积：

　   banii iTdx x A x x A V ) ( ) ( lim10 。

　例 例 2 2

　求由曲线 4  xy , 直线 1  x , 4  x , 0  y 绕 x 轴旋转一周而形成的立体体积. 解

　先画图形，因为图形绕 x 轴旋转，所以取 x 为积分变量， x 的变化区间为[1,4]，相应于[1，4]上任取一子区间[ x , x + x d ]的小窄条，绕 x 轴旋转而形成的小旋转体体积，可用高为 x d ，底面积为2πy 的小圆柱体体积近似代替， 即体积微元为

　V d =2πy x d = π2)4(xx d ,

　 于是，体积

　 V = π412 d)4( xx =16 π 412d1xx   16 π411x=12 π . 3．求曲线的弧长 （1）设曲线 ) (x f y  在   b a, 上有一阶连续导数（如下图）,利用微元法，取 x 为积分变量，在   b a, 上任取小区间   x x x d ,  ，切线上相应小区间的小段 MT 的长度近似代替一段小弧 MN 的长度，即 ds l MN  .得弧长微元为：

　dx y y x MT s2 2 2) ( 1 ) d ( ) d ( d       ,再对其积分， 则曲线的弧长为：

　dx x f dx y ds sbababa        2 2)] ( [ 1 ) ( 1

　（2）参数方程表示的函数的弧长计算，设曲线) () (t yt x上   , t    一段的弧长.这时弧长微元为：

　   2 22 2 dx dyds dx dy dtdt dt            即    2 2ds t t dt      

　则曲线的弧长为：

　dt t t ds s      2 2)] ( [ )] ( [

　 例 例 3 3

　(1)求曲线 2332x y  上从 0 到 3 一段弧的长度 解 由公式 s = x ybad 12 

　 （ b a  ）知,弧长为 s = x y d 1302  = x x30d 1 =323023) 1 ( x  =31632 =314.

　(2)求摆线 ( sin ),(1 cos )x a t ty a t    在  2 0   t 上的一段弧的长度（ 0  a ）． 解

　取 t 为积分变量，积分区间为 ] 2 , 0 [  ．由摆线的参数方程，得 ) cos 1 ( t a x    ， t a y sin   ， t a t a y x2 2 2 2 2 2sin ) cos 1 (      

　|2sin | 2 ) cos 1 ( 2ta t a    ． 于是，由公式（16-13），在  2 0   t 上的一段弧的长度为2 20 02 |sin | 2 sin2 2t ts a dt a dt   

　 204 cos 82ta a     

　二、定积分在物理中的应用

　1、求变速直线运动的路程 我们知道，作变速直线运动的物体所经过的路程 s，等于其速度函数 v=v (t) ( v(t) ≥0) 在时间区间[a,b]上的定积分，即 ( )bas v t dt  

　 例 1、一辆汽车的速度一时间曲线如图所示．求汽车在这 1 min 行驶的路程．

　解：由速度一时间曲线可知：

　3 ,0 10,( ) 30,10 401.5 90,40 60.t tv t tt t       

　因此汽车在这 1 min 行驶的路程是：

　10 40 600 10 403 [ 30 ( 1.5 90) s tdt dt t dt        2 10 40 2 600 10 403 3| 30 | ( 90 )| 1350( )2 4t t t t m      

　 答：汽车在这 1 min 行驶的路程是 1350m .

　2、 定积分在变力作功的应用

　一物体在恒力 F（单位：N）的作用下做直线运动，如果物体沿着与 F 相同的方向移（单位：m)，则力 F 所作的功为 W=Fs . 探究 如果物体在变力 F(x）的作用下做直线运动，并且物体沿着与 F (x) 相同的方向从x =a 移动到 x=b (a&lt;b) ，那么如何计算变力 F(x）所作的功 W 呢？ 与求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程一样，可以用“四步曲”解决变力作功问题．可以得到 ( )baW F x dx  

　 例 2 设 40N 的力使一弹簧从原长 10cm 拉长到 15cm．现要把弹簧由 15cm 拉长到20cm，需作多少功？

　解 以弹簧所在直线为 x 轴，原点 O 为弹簧不受力时一端的位臵．根据胡克定律，当把弹簧拉长 x m 时，所需的力为 ( ) F x kx  ，

　（1）

　其中 k 为弹性系数，是常数． 根据题意，当把弹簧由原长 10cm 拉长到 15cm 时，拉伸了 0.05m，把0.05 x  (0.05) 40 F  代入式（1），得

　 40 0.05k  ， 800  k ，

　所以

　 ( ) 800 F x x  ． 因此当把弹簧由 15cm 拉长到 20cm，即 x 从 05 . 0  x 变到 1 . 0  x 时，所需作的功为

　0.1 0.120.05 0.05 800400 3 W xdx x       ． 3、定积分在在电学中的应用 例 3、有一均匀带电圆盘，其半径为 R ，电荷面密度为  （如下图），求圆盘轴线 上与盘心 O 相距为 x 的任一给定点 P 处的场强？ 分析：因为圆盘带电均匀分布，所以把圆盘分成许多同心的细圆环。分成的细圆环同样也是均匀带电的，要知道各细圆环在点 P 处的场强，我们可以同样利用微元法在细圆环上任取微小的电荷元，求出每一电荷元在点 P 的场强，那么由场强叠加原理，最后即可求出圆盘在点 P 处的总场强。

　解：从圆盘上任取一半径为 r ，宽度为 dr 的细圆环，因为圆盘的面密度dSdq  ，则细圆环所带的电荷量为 rdr dq   2  .那么我们先来计算一下这个圆环(假设带电量为 q )在P 点激发的场强。如下图所示，在圆环上任取长度元 dl ，电荷线密度rqdldq2  ，则dl 上所带的电荷量为：

　dlrqdq 2

　...

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